สรุปหนังสือ : ภาษาจักรวาล ประวัติย่อของคณิตศาสตร์
คณิตศาสตร์เป็นวิชาที่นอกจากความซับซ้อนของกระบวนการคิดแล้ว ยังไม่เห็นภาพว่ามีที่มาที่ไปอย่างไร อีกทั้งยังไม่รู้ว่านำไปใช้ประโยชน์อะไรได้บ้าง คุณอาจวรงค์ จันทมาศ ผู้เขียนได้เก็บปัญหาข้อนี้ไว้กับตัวเงียบ ๆ จนกระทั่งวันหนึ่งได้รับการติดต่อทาบทามจากทาง blockdit ให้เขียนบทความพิเศษ (Exclusive) ลงใน Application blockdit ซึ่งเป็นแพลตฟอร์ม social knowledge สัญชาติไทยที่มีนักเขียนเก่ง ๆ มาเขียนกันเยอะมาก ขณะที่กำลังคิดว่าจะเขียนเรื่องอะไรดี ความคิดเกี่ยวกับการเขียนเรื่องคณิตศาสตร์แบบที่อ่านง่าย ๆ ก็ผุดขึ้นมา แต่การเขียนเรื่องให้อ่านง่าย ๆ นั้นไม่ง่าย ผู้เขียนจึงพยายามนำข้อมูลมาร้อยเรียงเป็นเรื่องราวอยู่นานพอสมควร จนในที่สุดบทความแรกก็ออกมา และหลังจากพยายามเขียนอย่างต่อเนื่องไปได้ปีกว่า ๆ ก็เกิดการนำเนื้อหาทั้งหมดมารวมเล่มเป็นหนังสือเล่มนี้
จดหมายสู่โลกใบอื่น
หากในอนาคตนักวิทยาศาสตร์สามารถพิสูจน์ยืนยันได้ว่า มีสิ่งมีชีวิตทรงภูมิปัญญาอาศัยอยู่บนดาวเคราะห์อื่นที่ไม่ใช้โลก คิดว่าควรส่งข้อความอะไรไปหาพวกเขา ในเดือนพฤศจิกายน ค.ศ 1974 กล้องโทรทรรศน์อาเรซิโบ ซึ่งเป็นกล้องโทรทรรศน์วิทยุที่ใหญ่ที่สุดในโลกยุคนั้น ได้ทำการส่งสัญญาณวิทยุที่นำข้อความบางอย่างจากมนุษย์ ไปยังกระจุกดาวทรงกลมเฮอร์คิวลิส (Hercules Globular Cluster) ที่ดาวฤกษ์หลายแสนดวงมาอยู่รวมกัน จนมีลักษณะเป็นทรงกลมขนาดใหญ่มหิมา
ในการส่งข้อความ แฟรงก์ เดรก ได้หารือกับ คาร์ล ซาแกนว่า หากต้องการจะร่างจดหมายสักฉบับเพื่อส่งไปสู่สิ่งมีชีวิตทรงภูมิปัญญา เนื้อหาในจดหมายฉบับนั้นควรจะมีอะไรบ้าง พวกเขาช่วยกันร่างข้อความที่ประกอบโดยเลขฐาน 2 เรียงรายทีละบรรทัด เพื่อเล่าว่ามนุษย์อย่างพวกเราเป็นใคร บรรทัดบนสุดเป็นเลข 1-10 ซึ่งเป็นเหมือนชุดอักษรที่ใช้ในการเขียนข้อความทั้งหมดนี้ ต่อมาเป็นเลข 1, 6, 7, 8, 15 เลขเหล่านี้อาจดูไม่สลักสำคัญ แต่มันคือจำนวนโปรตอนของธาตุไฮโดรเจน คาร์บอน ไนโตรเจน ออกซิเจน และฟอสฟอรัส ซึ่งเป็นธาตุที่สร้าง DNA ของสิ่งมีชีวิตบนโลก เมื่อนำธาตุเหล่านี้มาต่อกันด้วยพันธะเคมีจะได้นิวคลีโอไทด์ซึ่งเป็นหน่วยย่อยของ DNA จากนั้นจึงบอกโครงสร้างของ DNA ที่มีลักษณะเป็นเกลียวคู่ ต่อด้วยรูปร่างของมนุษย์พร้อมส่วนสูงเฉลี่ย บรรทัดต่อมาเป็นแผนที่ของระบบสุริยะแบบคร่าว ซ้ายสุดคือดวงอาทิตย์ถัดมาคือดาวเคราะห์ที่โคจรอยู่รอบ ๆ ได้แก่ดาวพุธ ดาวศุกร์ โลก ดาวอังคาร ดาวพฤหัสบดี ดาวเสาร์ ดาวยูเรนัส ดาวเนปจูน และดาวพลูโต ปิดท้ายด้วยข้อมูลกล้องโทรทรรศน์เป็นเทคโนโลยีที่ใช้ในการส่งสัญญาณนี้
อย่างไรก็ตามกว่าคลื่นวิทยุดังกล่าวจะเดินทางไปยังกระจุกดาวทรงกลมเฮอร์คิวลิสก็ต้องใช้เวลาราว 25,000 ปี และกว่าสัญญาณจากมนุษย์ต่างดาวจะเดินทางมาถึงโลกก็ต้องรออีก 25,000 ปี รวมแล้วเป็น 50,000 ปี หลายคนอาจสงสัยว่าทำไมนักดาราศาสตร์ทั้งสองจงใจเขียนข้อความที่เต็มไปด้วยจำนวน คำตอบอาจจะเป็นเพราะไม่มีหนทางใด ในการสร้างไวยากรณ์ที่สากลพอจะสื่อสารกับสิ่งมีชีวิตในดาวอื่นเลยหากไม่ใช่คณิตศาสตร์ นักวิทยาศาสตร์หลายคนเชื่อว่าคณิตศาสตร์น่าจะเป็นภาษาที่สากลที่สุดในเอกภพ เนื่องจากคณิตศาสตร์เป็นศาสตร์ที่ศึกษาปริมาณ ตัวแปร โครงสร้าง การเปลี่ยนแปลง และเนื่องจากคณิตศาสตร์มีความเป็นนามธรรมสูง คณิตศาสตร์จึงแทรกซึมเข้ามาในชีวิตประจำวัน ตลอดจนวิธีคิดของมนุษย์อย่างแยกไม่ออก ตั้งแต่การบอกเวลาจนถึงการเปรียบเทียบสินค้าว่าชิ้นไหนน่าซื้อ
สัตว์นับจำนวนได้หรือไม่
ช่วง ค.ศ 1891 วิลเฮล์ม ฟอน ออสเทิน (Wilhelm von Osten) ครูโรงเรียนมัธยมปลายชาวเยอรมันประกาศว่า ม้าของเขามีความสามารถพิเศษ เพราะมันสามารถนับเลขและทำการคำนวณได้ ม้าตัวนี้มีชื่อฮันส์ผู้คนจึงพากันเรียกมันว่า ฮันส์เจ้ามาแสนรู้ (Clever Hans) นักวิทยาศาสตร์รวมกลุ่มกันมาทดสอบเจ้าม้าฮันส์ ผลลัพธ์คือพวกเขาพบหลักฐานบางอย่างที่น่าสนใจมากนั่นคือ ยิ่งผู้ถามอยู่ห่างจากเจ้าม้าฮันส์การตอบถูกยิ่งน้อยลง และที่สำคัญคือหากผู้ถามไม่รู้คำตอบ เจ้าม้าฮันส์จะไม่สามารถตอบคำถามได้ นักวิทยาศาสตร์จึงสามารถสรุปได้ว่า ที่ฮันส์ตอบคำถามได้ถูกมิใช่เพราะมันคิดหาคำตอบได้เอง แต่มันสังเกตการแสดงออกบางอย่างจากตัวคนถาม โดยที่คนถามไม่รู้ตัวเลยว่า ได้แสดงสีหน้าหรือลักษณะท่าทางต่าง ๆ อะไรออกไปเป็นการบอกใบ้ แม้การทดลองจะชี้ว่า เจ้าม้าฮันส์ไม่สามารถนับเลขได้ แต่กระนั้นมันก็เป็นม้าที่ฉลาดมากอยู่ดี
นักวิทยาศาสตร์ยังค้นพบว่า มีสัตว์หลายชนิดสามารถนับเลขและเข้าใจจำนวนน้อย ๆ ได้ เช่น สุนัขสามารถนับจำนวนได้มากสุดราว ๆ 4 ถึง 5 ชิ้น นักวิทยาศาสตร์พบว่าแม้แต่มดทะเลทรายชนิด Cataglyphis ก็สามารถนับจำนวนก้าวที่มันเดินได้ สรุปได้ว่าสิ่งมีชีวิตต่าง ๆ อาจมีเซ้นส์เรื่องจำนวน ในระดับพื้นฐานอยู่บ้างมากน้อยต่างกันออกไป แต่ก็ไม่มีสัตว์ชนิดไหนนับจำนวนมาก ๆ และซับซ้อนได้เสมอเหมือนมนุษย์
มนุษย์นับเลขได้ตั้งแต่เมื่อไหร่
ในปี ค.ศ 1960 นักสำรวจชาวเบลเยียมชื่อ ฌอง เดอ ไฮน์เซลิน เดอ บรัวคอร์ต (Jean de Heinzelin de Braucourt) ได้ผลพบเงื่อนงำสำคัญที่บ่งบอกถึงการนับของมนุษย์ในยุคแรก ๆ สิ่งที่เขาค้นพบเป็นกระดูกลิงบาบูนที่ดูเก่าแก่ความยาวราว 10 เซนติเมตร บริเวณอิชางโก (Ishango) ซึ่งอยู่ในอุทยานแห่งชาติวีรูงกา สาธารณรัฐประชาธิปไตยคองโก ความพิเศษของกระดูกดังกล่าวคือบนกระดูกท่อนนั้นมีรอยหยักเหมือนถูกบาดไว้ทั้งท่อน อีกทั้งเมื่อตรวจวัดอายุจึงพบว่ากระดูกท่อนดังกล่าวมีอายุราว 20,000 ปีก่อนคริสตกาล ซึ่งนักประวัติศาสตร์เรียกมันว่า Ishango bone เป็นอุปกรณ์ที่คนสมัยยุคหินใช้ในการระบุจำนวน ต่อมามีการค้นพบ Tally Stick บริเวณอิชางโกอีกท่อนหนึ่ง รวมกับของเก่าเป็น 2 ท่อน
หลักฐานเก่าแก่เหล่านี้ชี้ให้เห็นว่า เผ่าพันธุ์มนุษย์มีความพยายามนับจำนวนมานานมาก ๆ แล้ว ซึ่งจะเห็นได้ว่าการใช้ชีวิตแบบไม่มีตัวเลขไว้เรียกนั้นยุ่งยากและลำบากมาก การสร้างระบบจำนวนเพื่อตั้งชื่อให้กับจำนวนต่าง ๆ เป็นสิ่งที่ถูกประดิษฐ์ขึ้นมาภายหลัง เพื่อตอบโจทย์การปศุสัตว์ที่เริ่มมีมากขึ้น และเพื่อการค้าขายแลกเปลี่ยนที่ต้องมีความชัดเจน แต่ในปัจจุบันมนุษย์พัฒนาระบบจำนวนไปมากกว่าเดิมมหาศาล จึงสามารถนับสิ่งต่าง ๆ ได้มากขึ้นหลากหลายขึ้น ชนเผ่าโบราณเผ่าหนึ่งที่เก่งกาจด้านดาราศาสตร์ และเป็นชนเผ่าแรกที่ทำให้มุมในวงกลมมี 360 องศาด้วย
ทำไมมุมในวงกลมมี 360 องศา
อารยธรรมยุคโบราณหลายอย่างได้ผ่านกาลเวลา และแทรกซึมอยู่ในชีวิตประจำวันอย่างแนบแน่นจนไม่รู้ตัว ในบริเวณประเทศซีเรียและอิรักทุกวันนี้ เมื่อย้อนไปเมื่อ 2,000 ปีก่อนคริสตกาล มีชนเผ่าหนึ่งตั้งรกรากอยู่พวกเขาคือชาวสุเมเรียน ชาวสุเมเรียนรู้จักทำการเกษตร สร้างคลองส่งน้ำ ทำเขื่อนเก็บน้ำ และสร้างล้อขึ้นมาใช้งาน กล่าวได้ว่าพวกเขามีอารยธรรมที่รุ่งเรืองกว่าชนเผ่าใด ๆ ในยุคนั้น แต่สิ่งหนึ่งที่นับว่าเป็นการปฏิวัติจริง ๆ คือการสร้างระบบเลข
แต่จากหลักฐานเท่าที่มี นักประวัติศาสตร์พบว่าชาวสุเมเรียนปฏิวัติการนับเลขด้วยวิธีที่แปลกประหลาด อย่างแรกคือแทนที่จะตั้งชื่อให้กับจำนวนทุกจำนวน พวกเขาประดิษฐ์ตัวเลขขึ้นมาไม่กี่ตัว แล้วใช้ระบุตำแหน่งในการระบุค่าของเลข ในลักษณะเดียวกับที่ใช้กันอยู่ทุกวันนี้ อย่างที่ 2 คือ พวกเขาใช้ระบบเลขฐาน 60 กล่าวคือพวกเขาเขียนจาก 1 ไปถึง 59 แล้ววนกลับมาใช้สัญลักษณ์เดิม เช่น ทุก ๆ 60 วินาทีเป็น 1 นาที และทุก ๆ 60 นาทีเป็น 1 ชั่วโมง ใช่แล้วเลขฐาน 60 ในนาฬิกานั่นเอง
นักดาราศาสตร์ชาวสุเมเรียนศึกษาการเคลื่อนไหวของวัตถุท้องฟ้าจนพบว่า ในแต่ละวันดวงอาทิตย์เปลี่ยนตำแหน่งไปเล็กน้อย และเคลื่อนตามกลุ่มดาวจักรราศีไปเรื่อย ๆ จนเมื่อผ่านไปราวๆ 365 วันดวงอาทิตย์จะกลับมาอยู่ที่ตำแหน่งเดิมอีกครั้ง ซึ่งนั่นคือช่วงเวลา 1 ปี ปัญหาคือหากแบ่งวงกลมออกเป็น 365 ส่วนตามจำนวนวันใน 1 ปี จะพบว่ามันเป็นตัวเลขที่ไม่ค่อยสวยเท่าไหร่ กล่าวคือมีแค่ 5 กับ 73 เท่านั้นที่หาร 365 ได้ลงตัว พวกเขาจึงยอมปรับค่าลงแล้วเลือกใช้เลข 360 วันซึ่ง 360 เป็นเลขที่มีตัวหารเยอะมาก จึงสามารถบริหารจัดการและแบ่งสัดส่วนได้หลายแบบ ชาวสุเมเรียนจึงสร้างปฏิทินด้วยการแบ่งปีออกเป็น 12 เดือน แต่ละเดือนมี 30 วัน รวมแล้วใน 1 ปีมี 360 วัน ชาวสุเมเรียนเองอาจรู้สึกได้ว่าการแบ่งวงกลมออกเป็น 360 ส่วนเท่า ๆ กันนั้นเป็นธรรมชาติมาก เป็นเหตุให้วงกลมถูกแบ่งออกเป็น 360 องศามาจนถึงทุกวันนี้
ใครกำหนดให้ 1 วันมี 24 ชั่วโมง และกำหนดให้เข็มนาฬิกาเดินตามเข็ม
ความมหัศจรรย์ของพีระมิดนั้น มิใช่เพียงความใหญ่โตมโหฬารอันชวนตื่นตะลึง โครงสร้างภายนอกอันเรียบง่ายของพีระมิด ก็แฝงไปด้วยภูมิปัญญาอันน่าสนใจ ความสูงและความยาวฐานแต่ละด้านนั้น แสดงให้เห็นถึงความเข้าใจในคณิตศาสตร์อย่างลึกซึ้งของชาวอียิปต์โบราณ ชาวอียิปต์โบราณเป็นชนชาติแรกที่ประดิษฐ์นาฬิกาแดดขึ้นใช้งาน โดยชาวอียิปต์โบราณแบ่งกลางวันออกเป็น 12 ช่วงเท่า ๆ กัน ในช่วงที่มีการประดิษฐ์นาฬิกาแดดนั้น นักดาราศาสตร์อียิปต์พยายามระบุเวลาตอนกลางคืนซึ่งไม่มีแดด ด้วยการแบ่งดาวออกเป็นกลุ่ม ๆ โดยให้บนท้องฟ้าใน 1 คืนถูกแบ่งออกเป็น 12 ส่วนเท่า ๆ กันด้วย เท่านี้ก็สามารถระบุเวลาได้อย่างต่อเนื่องทั้งกลางวันและกลางคืน ใน 1 วันจึงมี 24 ช่วงหรือ 24 ชั่วโมง และรูปแบบการเดินของเข็มนาฬิกาทุกวันนี้ มาจากทิศการเคลื่อนที่ของเงานาฬิกาแดด ซึ่งเป็นผลมาจากการที่ชาวอียิปต์โบราณอาศัยอยู่ในซีกโลกเหนือ การเปลี่ยนตำแหน่งของเงานั้นไม่เพียงแค่ช่วยในการบอกเวลา แต่ยังช่วยในการกำหนดทิศได้ด้วย วิธีหนึ่งที่ใช้ในการหาทิศอย่างง่าย ๆ คือปักไม้ไว้กลางแดดตอนเช้าแล้ววางหินไว้ที่ปลายเงาไม้ จากนั้นรอจนถึงช่วงบ่ายจะพบว่าปลายเงาไม้เปลี่ยนตำแหน่งไปแล้วก็วางหินไว้ที่ปลายเงาไม้ตอนบ่าย เส้นตรงที่ลากจากหินก้อนที่วางตอนเช้าสู่หินที่วางตอนบ่ายคือทิศตะวันตกและทิศตะวันออก
ค่าพายคืออะไร และสำคัญอย่างไร
ค่าพายนั้นเป็นเลขที่มนุษย์ให้ความสนใจมาช้านาน และอาจมีความเชื่อมโยงกับความจริงบางอย่างของเอกภพ หากวาดวงกลมขึ้นมาวงหนึ่ง แล้วนำเส้นรอบวงมาหารด้วยเส้นผ่านศูนย์กลาง จะได้เลขตัวหนึ่งซึ่งมีค่าเท่าเดิมเสมอ ไม่ว่าวงกลมจะใหญ่หรือเล็ก เลขตัวนี้คือค่าพายนั่นเอง ค่าพายจึงนิยามได้ว่าเส้นรอบวงกลมหารด้วยเส้นผ่านศูนย์กลางวงกลมนั้น ราว 1,650 ปีก่อนคริสตกาล ชาวอียิปต์โบราณประมาณค่าพายไว้ราว ๆ 3.16 ซึ่งนับว่าน่าทึ่งที่มนุษย์เมื่อหลายพันปีก่อน ทำการประมาณค่าพายออกมาได้
แต่เมื่อ 250 ปีก่อนคริสตกาล ผู้ที่หาค่าพายได้อย่างละเอียดด้วยวิธีที่น่าสนใจที่สุดคือ อาร์คิมีดีส (Archimedes) อัจฉริยะแห่งกรีกโบราณผู้ค้นพบหลักแห่งแรงลอยตัว ในขณะที่กำลังนอนแช่อยู่ในอ่างอาบน้ำ จนถึงกับลืมตัววิ่งผลุนผลันออกมาตะโกนคำว่า ยูเรก้า นอกจากนี้เขายังประดิษฐ์สกรูแบบอาร์คิมีดีส (Archimedes’ screw) ที่ใช้ในการผันน้ำจากที่ต่ำมายังที่สูง เพื่อการเกษตรและชลประทาน ค้นพบหลักการทำงานของคานและประดิษฐ์อุปกรณ์ล้ำสมัยอื่น ๆ อีกมากมาย อาร์คิมีดีสพยายามหาเส้นรอบวงด้วยการวาดหกเหลี่ยมไว้ในวงกลม จึงสามารถหาได้ว่าเส้นรอบรูปหกเหลี่ยมมีค่าเท่าไหร่
เรื่องน่าสนใจของค่าพายยังไม่จบ เพราะแม้ทุกคนจะรู้แล้วว่าค่าพายนั้นเป็นทศนิยมไม่รู้จบและไม่ซ้ำตัวเอง แต่นักคณิตศาสตร์จำนวนมากพยายามไล่ล่าค่าพาย ด้วยการควานหาทศนิยมให้มากที่สุด เพื่อให้เข้าใกล้ค่าพายที่แท้จริงที่สุดมากเท่าที่จะเป็นไปได้ และสำหรับนักคณิตศาสตร์บางคนมันคืองานเกือบทั้งชีวิตของเขา
ชายผู้ใช้เวลาเกือบทั้งชีวิตคำนวณหาค่าพาย
งานอดิเรกหลายอย่างที่ทำไปด้วยความรักนั้น แม้จะไม่ได้ทำเงินให้แต่ก็สร้างความสุขให้กับหัวใจ เมื่อ 200 ปีก่อน วิลเลี่ยม แชงก์ส ครูในโรงเรียนแห่งหนึ่งของเมืองอองตันเลอสปริง ประเทศอังกฤษ ผู้ไม่ได้มีชีวิตโลดโผนหรือน่าตื่นเต้นใด ๆ ใช้เวลาว่าง ๆ ในช่วงเช้าไปกับการคำนวณค่าคงที่ทางคณิตศาสตร์ ซึ่งหนึ่งในนั้นคือค่าพาย พอตกบ่ายก็จะใช้เวลาว่างไปกับการตรวจทานค่าที่ได้ให้ถูกต้อง ตลอดชีวิตของเขาสามารถคำนวณค่าพายไปจนถึงทศนิยมตำแหน่งที่ 707 ซึ่งนับว่าน่าทึ่งมากสำหรับช่วงเวลาเมื่อ 200 ปีก่อน ส่งผลให้เขาเป็นที่จดจำมาถึงทุกวันนี้ อย่างไรก็ตามการพยายามหาค่าพายของนักคณิตศาสตร์ในยุคต่อ ๆ มายังคงดำเนินต่อและก้าวหน้าขึ้นมาก โดยในปี ค.ศ 1949 เครื่องคอมพิวเตอร์ในตำนานที่มีชื่อว่าอีนิแอก (ENIAC) ใช้เวลาไป 70 ชั่วโมงก็สามารถหาค่าพายได้ 2,037 ตำแหน่ง มากกว่าที่วิลเลี่ยม แชงก์สใช้เวลาทั้งชีวิตหาไว้ ในปี ค.ศ 1973 คอมพิวเตอร์สามารถคำนวณหาค่าพายได้ถึง 1 ล้านตำแหน่งใช้เวลาประมาณ 1 วัน (23.3 ชั่วโมง)
ทำไมจึงต้องหาทศนิยมจำนวนมากขนาดนี้ และในทางปฏิบัติใช้งานทศนิยมของค่าพยายมากแค่ไหน นักคณิตศาสตร์คำนวณจนพบว่า ค่าพายทศนิยมเพียง 39 ตำแหน่งก็เพียงพอแล้ว สำหรับการนำไปหาเส้นรอบวงของเอกภพ ซึ่งจะผิดพลาดไม่ถึงขนาดของอะตอมไฮโดรเจน บางทีมนุษย์อาจรับรู้ความไร้ที่สิ้นสุดได้ 2 ทาง ทางแรกคือทางคณิตศาสตร์เหมือนทศนิยมไร้ที่สิ้นสุดของค่าพาย และอีกทางคือผ่านผลงานอันยิ่งใหญ่ที่มนุษย์บางกลุ่มได้ฝากไว้กับโลก เพราะว่าผลงานเหล่านั้นเหมือนเกิดออกมาจากความรักไร้ที่สิ้นสุดเช่นกัน
ทำไมต้องเรียนแคลคูลัส
วิชาแคลคูลัสมีจุดประสงค์ที่เรียบง่ายนั่นคือ มันช่วยในการศึกษาคุณสมบัติที่เกี่ยวกับเส้นโค้ง คุณสมบัติของเส้นโค้งสักเส้นที่นักคณิตศาสตร์สนใจ หลัก ๆ แล้วมีอยู่ 2 อย่างคือ 1.ความชันของเส้นโค้ง (Slope) 2.พื้นที่ที่เส้นโค้งนั้นปิดล้อม ก่อนแคลคูลัสจะเกิดขึ้นมีการพยายามศึกษาปริมาณต่าง ๆ ที่เกี่ยวข้องกับเส้นโค้งมาตั้งแต่สมัยกรีกโบราณ แต่วิธีการเหล่านั้นยุ่งยาก อีกทั้งยังหาคำตอบได้อย่างจำกัด และยังไม่มีกระบวนการแก้ปัญหาที่เป็นระบบ แต่แคลคูลัสนั้นช่วยในการหาคำตอบเหล่านี้ได้อย่างง่ายดาย แคลคูลัสแบ่งออกเป็น 2 ส่วนคือ 1.ดิฟเฟอเรนเชียล แคลคูลัส (Differential Calculus) เกี่ยวข้องกับการคำนวณอัตราการเปลี่ยนแปลงหาความชันของกราฟ 2.อินทีกรัล แคลคูลัส (Integral Calculus) เกี่ยวข้องกับการคำนวณหาพื้นที่ที่ถูกปิดล้อมด้วยเส้นโค้ง ทั้งสองอย่างนี้เป็นกระบวนการย้อนกลับของกันและกัน และเชื่อมโยงกันด้วยทฤษฎีบทพื้นฐานของแคลคูลัส โดยสรุปได้ว่ามันเป็นเหมือนหน้าทั้งสองของเหรียญเดียวกัน
การถือกำเนิดของแคลคูลัสนั้นไม่ธรรมดา เพราะมันเกิดขึ้นจากมันสมองของอัจฉริยะ 2 คนเมื่อ 325 ปีก่อน คนแรกเป็นชาวอังกฤษผู้มีนามว่า ไอแซก นิวตัน อีกคนเป็นชาวเยอรมันชื่อ กอทท์ฟรีด วิลเฮล์ม ฟอน ไลบ์นิช ทั้งสองอยู่ในยุคเดียวกัน และมีมันสมองระดับอัจฉริยะ อีกทั้งแคลคูลัสเป็นหนึ่งในผลงานแห่งยุคสมัย จึงไม่น่าแปลกใจที่ทั้งสองจะทุ่มเถียงกันว่าใครเป็นผู้คิดค้นแคลคูลัส จนกลายเป็นสงครามโลกคณิตศาสตร์
สงครามแคลคูลัส
ไอแซก นิวตัน เป็นอัจฉริยะที่สร้างผลงานสำคัญไว้มากมาย จนโลกต้องจารึกและจดจำ ทว่าบุคลิกส่วนตัวของเขานั้นเต็มไปด้วยความเก็บเนื้อเก็บตัวลึกลับและซับซ้อนอย่างมาก ในปี ค.ศ 1665 – 1666 ขณะที่ ไอเซก มีอายุราว ๆ 23 ปีเขาได้ริเริ่มสร้างสรรค์คณิตศาสตร์แขนงใหม่ ซึ่งเขาเรียกมันว่า Method of Fluxion and Fluent แต่ทุกวันนี้โลกรู้จักในชื่อแคลคูลัส เขานำคณิตศาสตร์ที่สร้างขึ้นไปประยุกต์ใช้เพื่อแก้ปัญหาทางฟิสิกส์ทั้งกลศาสตร์และดาราศาสตร์ แต่เขาเก็บการค้นพบทั้งหลายไว้กับตัวอย่างเป็นความลับโดยไม่เผยแพร่ และนั่นเป็นจุดเริ่มต้นของสงครามแคลคูลัสอันยาวนาน
10 ปีต่อมา กอทท์ฟรีด วิลเฮล์ม ฟอน ไลบ์นิช นักคณิตศาสตร์ชาวเยอรมันได้เริ่มต้นสร้างแคลคูลัสขึ้นมาด้วยตนเอง จากนั้นก็ทำการพัฒนาทั้งแนวคิดและการใช้เครื่องหมายต่าง ๆ จนผลงานสุกงอมก็ประกาศการค้นพบแคลคูลัส ด้วยการตีพิมพ์ผลงานให้โลกรู้ในปี ค.ศ 1684 และ 1686 ส่งผลให้เขากลายเป็นสุดยอดนักคณิตศาสตร์ผู้มีชื่อเสียง ทว่าเมื่อนิวตันได้ข่าวว่าเขาตีพิมพ์เผยแพร่ผลงานเรื่องแคลคูลัส
คราวนี้นิวตันไม่อยู่เงียบ ๆ แล้ว แต่ออกมากล่าวหาว่าไลบ์นิชขโมยความคิดของตนไปสร้างผลงาน เนื่องจากนิวตันเป็นนักวิทยาศาสตร์ที่มีชื่อเสียง และเป็นนายกราชสมาคมของอังกฤษ ซึ่งเป็นผู้มีอิทธิพลในระดับที่เมื่อเกลียดใครแล้วก็จะหาทางทำลายจนย่อยยับลงไปให้ได้ ไลบ์นิชยังเขียนบทความแสดงให้เห็นว่าเขาคิดค้นแคลคูลัสขึ้นมาเอง ไปพร้อม ๆ กับการโจมตีว่านิวตันต่างหากที่นำไอเดียของตนไปใช้ในงาน ไม่เพียงเท่านั้นเขายังพยายามผลักดันเรื่องนี้ให้เข้าถึงรัฐบาลและไปถึงกษัตริย์อังกฤษด้วย สงครามระหว่างบุคคลทั้งสองดำเนินไปอย่างต่อเนื่อง จนกระทั่งไลบ์นิชเสียชีวิตในปี ค.ศ 1716 เมื่ออายุ 70 ปี และถึงแม้ว่าเขาจะเสียชีวิตไปแล้ว แต่นิวตันยังคงมีการดำเนินการเพื่อปกป้องชื่อเสียงของตนเองอยู่
ทุกวันนี้นักประวัติศาสตร์ยืนยันได้จากหลักฐานอย่างชัดเจนว่า นิวตันเป็นผู้คิดค้นแคลคูลัสขึ้นก่อน ไลบ์นิช อย่างแน่นอน และยังนำไปประยุกต์ใช้ได้ด้วย แต่ ไลบ์นิช ก็ค้นพบด้วยตัวเองโดยไม่ได้ลอกนิวตันเลยแม้แต่น้อย ที่สำคัญคือ ไลบ์นิชได้ตีพิมพ์ผลงานเผยแพร่ และยังพัฒนาตัวคณิตศาสตร์ไปได้ไกล จนหลายคนมองว่าไลบ์นิชสร้างความก้าวหน้าให้กับโลกคณิตศาสตร์ด้านแคลคูลัสมากกว่านิวตันเสียอีก
ไซคลอยด์ สตรีผู้งดงามแห่งโลกเรขาคณิต
หากติดไฟฉายไว้ที่ล้อรถกลม ๆ แล้วให้รถวิ่งไปบนถนนเรียบ แสงไฟฉายจะปรากฏเป็นเส้นโค้งตามตำแหน่งที่มันเคลื่อนที่ไป โดยเส้นโค้งดังกล่าวมีชื่อว่าไซคลอยด์ (Cycloid) แม้เส้นโค้งที่ได้นี้จะดูธรรมดาและเรียบง่ายเอามาก ๆ แต่มันกลับถูกเรียกว่าเฮเลนของนักเรขาคณิต (The Helen of Geometers) เพราะในช่วงศตวรรษที่ 17 นักคณิตศาสตร์หลายคนพากันค้นพบคุณสมบัติที่น่าสนใจหลายอย่างของโค้งไซคลอยด์ และพยายามถือครองเครดิตการค้นพบเส้นโค้งนี้ นักคณิตศาสตร์ที่ศึกษาเส้นโค้งไซครอยด์อย่างจริงจังคนแรก ๆ เป็น กาลิเลโอ กาลิเลอี ผู้ประดิษฐ์กล้องโทรทรรศน์สำหรับส่องวัตถุท้องฟ้า จนปฏิวัติความคิดของมนุษย์มาจนทุกวันนี้ คำว่าไซคลอยด์ นั้นมาจากคำภาษากรีกที่แปลว่าคล้ายวงกลม ซึ่งกาลิเลโอเป็นคนคิดคำนี้ขึ้นมาไว้เรียกเส้นโค้งนี้
เมื่อ 300 ปีก่อน นักคณิตศาสตร์ชาวสวิสนามว่า โยฮัน แบร์นูลลี่ (Johann Bernoulli) ได้ตั้งกระทู้ถามในวารสารวิชาการว่า หากต้องการสร้างรางเชื่อมระหว่างจุด 2 จุด แล้วกลิ้งวัตถุเล็ก ๆ มาตามราง รางต้องมีลักษณะอย่างไรเพื่อให้วัตถุใช้เวลาน้อยที่สุด ในการกลิ้งจากจุดหนึ่งมายังอีกจุดหนึ่ง ซึ่งเป็นปัญหาที่มีชื่อว่า Brachistochrome นักคณิตศาสตร์ในยุคนั้นพยายามแก้ปัญหานี้โดยใช้เวลาแก้ร่วมปี แต่มีจดหมายฉบับหนึ่งส่งคำตอบมายังแบร์นูลลี่อย่างรวดเร็ว คำตอบมาจากชายผู้หนึ่งที่เห็นคำถามนี้ในช่วงเวลาเย็น และใช้เวลาทั้งคืนคิดจนได้คำตอบว่า เส้นทางที่ทำให้วัตถุกลิ้งลงมาได้เร็วที่สุดคือโค้งไซคลอยด์ ชายผู้นี้มีนามว่าเซอร์ไอแซก นิวตัน
หากลองวิเคราะห์การกลิ้งของวัตถุจะพบว่า ในช่วงแรกโค้งไซคลอยด์จะทำให้วัตถุเริ่มต้นกลิ้งลงมาอย่างรวดเร็ว เนื่องจากถูกแรงโน้มถ่วงดึงลงมา จนมีความเร็วเพิ่มขึ้นอย่างมาก ส่วนวัตถุที่กลิ้งตามเส้นตรงจะกลิ้งลงมาแบบเรื่อย ๆ สบาย ๆ เพราะไม่ชันเท่าไซคลอยด์ แต่ถ้าใช้โค้งลักษณะอื่นที่ชั้นดิ่งมากกว่าไซคลอยด์ วัตถุจะต้องใช้เวลามากขึ้นเพราะระยะทางที่เพิ่มขึ้นมากเกินไป จนส่งผลให้มันถึงจุดหมายช้าลงนั่นเอง
ยูคลิดผู้สร้างโลกที่เส้นขนานไม่มีวันบรรจบกัน
เลขาคณิตเป็นสาขา 1 ของคณิตศาสตร์ ที่ศึกษาคุณสมบัติตลอดจนองค์ประกอบของรูปร่างรูปทรงต่าง ๆ รวมทั้งวิธีการสร้างรูปร่างรูปทรงต่าง ๆ ขึ้นมา ผู้ที่วางรากฐานวิชาเรขาคณิตขึ้นมาอย่างเป็นระบบคือ ยูคลิด นักคณิตศาสตร์ยุคกรีกโบราณ ผู้มีชีวิตอยู่ในช่วง 300 ปีก่อนคริสตกาล ทฤษฎีบทต่าง ๆ ทางเรขาคณิตที่ซับซ้อน ถูกสร้างขึ้นจากกฎพื้นฐานเรียบง่ายที่เรียกว่าสัจพจน์ (Postulate) 5 ข้อของยูคลิด โดยสัจจพจน์นั้นเป็นสิ่งที่มีความชัดเจนมากจนไม่ต้องการสิ่งใดมาพิสูจน์ความถูกต้องของตัวมัน
สัจพจน์ 5 ข้อคือ 1.สามารถสร้างส่วนของเส้นตรงได้จากการลากเส้นเชื่อมระหว่างจุดดสองจุด 2.ส่วนของเส้นตรงถูกลากให้ยาวขึ้นอย่างไร้ที่สิ้นสุดจนเป็นเส้นตรงได้ 3.ส่วนของเส้นตรงใช้นิยามวงกลมได้โดยความยาวของมันเป็นรัศมี และปลายด้านหนึ่งอยู่ที่จุดศูนย์กลางวงกลม 4.ทุก ๆ มุมฉากล้วนไม่แตกต่างกัน 5.เส้นตรงเส้นหนึ่งตัดส่วนของเส้นตรง 2 เส้นหากผลรวมของมุมด้านหนึ่งน้อยกว่า 2 มุมฉากแล้วต่อความยาวส่วนของเส้นตรงด้านนั้นออกไปเรื่อย ๆ จะพบว่ามันตัดกันเสมอ สัจพจน์ข้อที่ 5 นี้อาจจะยากสักหน่อย แต่ผลของมันทำให้เกิดแนวคิดเรื่องเส้นขนาน
อย่างไรก็ตามนักคณิตศาสตร์ในยุคหลัง ๆ ทดลองสร้างระบบเรขาคณิตที่สัจพจน์ข้อที่ 5 ของยูคลิดไม่เป็นจริงขึ้นมา เรียกว่าเรขาคณิตนอกระบบยูคลิด (Nono-Euclidean geometry) ซึ่งใช้อธิบายสมบัติของที่ว่าง (space) ได้กว้างกว่าเรขาคณิตแบบยูคลิด ที่มองว่าที่ว่างมีความราบเรียบเหมือนแผ่นกระดาษ ทั้งหมดนี้เป็นภาพรวมกว้าง ๆ ของเรขาคณิตอันกว้างใหญ่
ใครเป็นคนคิดการย้ายข้ามสมการเป็นคนแรก
พีชคณิต (Algebra) เป็นสาขาหนึ่งของคณิตศาสตร์ ที่ศึกษาการจัดการกับตัวเลขและตัวแปรต่าง ๆ หนึ่งในประโยคที่คุ้นเคยที่สุดในพีชคณิตคือ สมการซึ่งมีเครื่องหมายเท่ากับแสดงความเท่ากันทางคณิตศาสตร์ การใช้อักษร x แทนสิ่งที่ไม่รู้ค่านั้นเป็นแนวคิดที่แหวกแนวมากในยุคโบราณ โดยบุคคลผู้มีความสำคัญต่อวิชาพีชคณิตอย่างยิ่งนั้นมี 2 คน คนแรกเป็นชาวกรีกโบราณชื่อ ไดโอแฟนตัส (Diophantus) มีชีวิตอยู่ในช่วง ค.ศ 201-290 เป็นผู้ใช้ตัวแปรแทนสิ่งที่ไม่รู้ค่า และแสดงวิธีการหาค่าออกมาอย่างชัดเจน อีกทั้งยังเป็นผู้แสดงแนวคิดเรื่องสมการเป็นคนแรก และแสดงวิธีการย้ายข้างสมการเพื่อแก้สมการด้วย
บุคคลที่ 2 มีอิทธิพลต่อพีชคณิตเป็นชาวเปอร์เซีย ผู้มีชีวิตอยู่ในช่วงปี ค.ศ 780 – 850 นามว่า มูฮัมหมัด อิบน์ มูซา อัลคอวาริสมีหรือเรียกสั้น ๆ ว่า อัลคอวาริสมี แม้ว่าก่อนหน้านี้ไดโอแฟนตัสนักคณิตศาสตร์ชาวกรีก และเหล่านักคณิตศาสตร์ฮินดูจะมีแนวคิดเรื่องพีชคณิต และการแก้สมการมาบ้างแล้ว แต่ก็ยังไม่มีการเรียกชื่อวิชานี้ อีกอย่างคืออันคอวาริสมีเป็นบุคคลแรกที่พยายามสร้างหลักการกว้าง ๆ ในการแก้สมการโดยไม่ได้เจาะจงไปที่เลขตัวใดตัวหนึ่ง ทำให้หลายสำนักยกย่องว่าเขาต่างหากที่เป็นบิดาแห่งพีชคณิต
จำนวนเฉพาะขนาดใหญ่ หนึ่งในสิ่งที่นักคณิตศาสตร์พยายามไล่ล่า
จำนวนเฉพาะ (Prime Number) คือจำนวนที่มีแค่ 1 กับตัวมันเองหารลงตัว ยูคลิดสุดยอดนักคณิตศาสตร์แห่งกรีกโบราณเคยพิสูจน์ไว้ว่า จำนวนเฉพาะนั้นมีอยู่อย่างไร้ที่สิ้นสุด และนักคณิตศาสตร์ในยุคต่อมาพบว่า ยิ่งจำนวนเฉพาะยิ่งมีค่ามากก็ยิ่งหายาก เพราะโดยเฉลี่ยแล้วมันจะอยู่ห่างกันมากขึ้นเรื่อย ๆ ทฤษฎีบทสำคัญที่สุดอย่างหนึ่งเกี่ยวกับการกระจายตัวของจำนวนเฉพาะมีชื่อว่า Prime Number Theorem ได้รับการพิสูจน์อย่างชัดเจนในปี ค.ศ 1896 โดยนักคณิตศาสตร์ ฌากส์ อาดามาร์ (Jacques Hadamard) และ ชาร์ล จีน เดอ ลา วาเล ปูสแซง (Charles Jean de la Vallée Poussin) ซึ่งทั้งสองคิดได้ด้วยตนเองโดยไม่ได้ปรึกษาหารือกัน
ทฤษฎีบทดังกล่าวเป็นสูตรที่แสดงให้เห็นว่า จำนวนเฉพาะที่น้อยกว่าหรือเท่ากับ x จะมีกี่จำนวน โดยยิ่ง x มีค่ามากความคลาดเคลื่อนก็จะยิ่งน้อย เช่น จำนวนเฉพาะที่น้อยกว่าหรือเท่ากับ 100 มีทั้งหมด 25 จำนวน แต่ถ้าใช้สูตรคำนวณจะได้ 21.7 ซึ่งผิดพลาดไปราว ๆ 13.2% กล่าวโดยสรุปได้ว่า การพยายามค้นหาจำนวนเฉพาะ ที่มีค่ามากที่สุดเท่าที่จะเป็นไปได้ กลายเป็นสิ่งที่นักคณิตศาสตร์ และนักวิทยาการคอมพิวเตอร์พยายามทำ ด้วยเหตุผลดังนี้ 1.การพยายามหาจำนวนเฉพาะที่มีค่ามาก ๆ กลายเป็นเรื่องท้าทาย และส่วนหนึ่งมันช่วยให้นักคณิตศาสตร์ต้องมองหาวิธีการใหม่ ๆ ซึ่งอาจกลายเป็นเครื่องมือที่มีประโยชน์ในอนาคต 2.เป็นวิธีหนึ่งที่ใช้ในการทดสอบประสิทธิภาพของคอมพิวเตอร์ 3.อยากจะหา
ภาคตัดกรวยคืออะไร
กรวย (Cone) คือรูปทรงเรขาคณิตที่มีหน้าตาเหมือนกับโคนไอศกรีม ซึ่งนักคณิตศาสตร์สนใจรูปทรงนี้มาตั้งแต่ยุคกรีกโบราณแล้ว หากนำกรวย 2 อันที่มีหน้าตาเหมือนกัน หันปลายมาชนกันจนมีหน้าตาคล้ายกับนาฬิกาทราย จากนั้นนำระนาบแบน ๆ มาตัด จะสามารถสร้างขอบรอยตัดได้ 4 แบบ 1.หากระนาบขนานไปกับฐานกรวย ขอบหน้าตัดจะเป็นรูปวงกลม 2.หากระนาบเอียงแต่ยังไม่เอียงจนตัดไปถึงฐานกรวย ขอบหน้าตัดจะเป็นรูปวงรี 3.หากระนาบเอียงจนตัดฐานกรวยหนึ่ง ขอบหน้าตัดจะเป็นโค้งชื่อว่าพาราโบลา 4.หากระนาบเอียงจนไปตัดกรวยอีกฟาก ขอบหน้าตัดจะเกิดเป็นโค้งที่มีชื่อว่าไฮเปอร์โบล่า นักคณิตศาสตร์เรียกเส้นของทั้งหมดนี้ว่าภาคตัดกรวย (Conic Section)
มหัศจรรย์แห่งวงรีจากวงโคจรของดาวเคราะห์จนถึงไต
วงรี (Ellipse) เป็นโค้งทางเรขาคณิต แม้สิ่งของที่ใช้งานในชีวิตประจำวันจะถูกสร้างขึ้นเป็นวงกลมมากมาย หากพิจารณาให้ดีจากพบว่า สิ่งของกลม ๆ เหล่านั้นจะดูกลมก็ต่อเมื่อมองเข้าไปที่มันตรง ๆ เพราะถ้ามองจากมุมอื่นมันจะปรากฏต่อสายตาเป็นรูปวงรี หลักการที่ดูเรียบง่ายนี้ใช้ในการออกแบบเครื่องมือทางการแพทย์ที่เรียกว่า Lithotripler อุปกรณ์นี้ช่วยให้ก้อนนิ่วในไตที่มีเส้นผ่านศูนย์กลางเล็กกว่า 2 เซนติเมตรแตก แล้วหลุดออกไปสู่ระบบปัสสาวะโดยไม่ต้องผ่าตัดหลักการทำงานของมันคือ ปล่อยอัลตร้าซาวด์ซึ่งเป็นคลื่นสั่นสะเทือนออกไป โดยแหล่งกำเนิดคลื่นอยู่ที่จุดโฟกัสหนึ่งของวงรี คลื่นอัลตร้าซาวด์จะไปตกกระทบที่จานหน้าตัดรูปวงรี แล้วสะท้อนไปรวมที่จุดโฟกัสอีกแห่งของวงรี ซึ่งบริเวณนั้นคือจุดที่นิ่วอยู่ ส่งผลให้ก้อนนิ่วสั่นสะเทือนรุนแรงกว่าบริเวณอื่น ๆ มาก จนก้อนนิ่วแตกสลายไป ซึ่งการรักษาด้วยวิธีนี้ทำให้ผู้ป่วยสามารถพักฟื้นร่างกายได้อย่างรวดเร็ว นักคณิตศาสตร์พบว่าหากปลายด้านหนึ่งของวงรีถูกตัดออกมาด้วยขนาดที่เล็กมากพอ โค้งที่ถูกตัดออกมาจะมีลักษณะใกล้เคียงกับของชนิดหนึ่งที่มีชื่อว่าพาราโบลา (Parabola) นักฟิสิกส์จึงทำการประมาณได้ว่า วัตถุที่เคลื่อนที่อย่างอิสระภายใต้แรงโน้มถ่วงของโลก เคลื่อนที่เป็นโค้งพาราโบลา
กระจกแสงพิฆาตของอาร์คิมีดีสมีจริงหรือไม่
ราว 400 ปีก่อนกาลิเลโอ กาลิเลอี นักฟิสิกส์แห่งอิตาลีอธิบายเส้นทางการคลื่อนที่ของกระสุนปืนใหญ่ได้อย่างถูกต้องว่า มีลักษณะเป็นเส้นโค้งชื่อพาราโบลา คำอธิบายของกาลิเลโอได้รับความเชื่อถือ เพราะมันนำไปสู่การคำนวณจุดตกของกระสุนปืนใหญ่ได้แม่นยำขึ้น นักฟิสิกส์เรียกการเคลื่อนที่เป็นเส้นโค้งของวัตถุภายใต้แรงโน้มถ่วงว่า การเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์ (Projectile Motion) ล้วนแล้วแต่เคลื่อนที่เป็นโค้งรูปพาราโบลา
นิยามของพาราโบลาจริง ๆ แล้วค่อนข้างเข้าใจยาก แต่สามารถเรียนรู้มันผ่านคุณสมบัติที่น่าสนใจอย่างหนึ่งนั่นคือ หากสร้างกระจกที่มีหน้าตัดเป็นรูปพาราโบลา มันจะสะท้อนลำแสงที่มีลักษณะขนานให้รวมไปที่จุด ๆ หนึ่งเรียกว่าจุดโฟกัสได้ ซึ่งคุณสมบัติข้อนี้เป็นที่รู้กันดีมาตั้งแต่ยุคกรีกโบราณแล้ว ตำนานเล่าขานว่าอาร์คิมีดิสอัจฉริยะแห่งกรีก ผู้มีชีวิตราว 200 กว่าปีก่อนคริสตกาล นำกระจกมาเรียงรายเป็นรูปพาราโบลา เพื่อรวมแสงอาทิตย์ให้กลายเป็นลำแสงพิฆาตไปเผาเรือข้าศึก เป็นลำแสงที่ร้อนจัดจนเรือของข้าศึกลุกไหม้
ทุกวันนี้นักวิทยาศาสตร์พยายามทดลองว่า แนวคิดดังกล่าวเป็นจริงแค่ไหน ไม่ว่าตำนานของอาร์คิมีดีสจะเป็นเรื่องจริงหรือไม่ แต่ความสามารถในการสะท้อนของพาราโบลานั้นเป็นเรื่องจริงแน่นอน เพราะปัจจุบันการที่ใช้รวมสัญญาณจำนวนมาก นิยมใช้รูปพาราโบลาเป็นโครงหลักในการออกแบบ แล้วปรับเปลี่ยนรายละเอียดปลีกย่อยไปตามลักษณะการใช้งาน
ก่อนจะมี GPS โลกใช้ระบบอะไรในการนำทาง
ไฮเปอร์โบลาเป็นหนึ่งในเส้นโค้งที่เกิดจากภาคตัดกรวย ลักษณะของมันเป็นโค้งเว้าคล้ายกับพาราโบลา แต่มันไม่ใช่พาราโบลา เพราะโค้งทั้งสองประเภทนี้ไม่สามารถนำมาซ้อนทับกันได้อย่างพอดี สามารถเข้าใจความแตกต่างระหว่างไฮเปอร์โบลากับพาราโบลาได้ จากการเคลื่อนที่ของวัตถุที่หลุดออกจากแรงโน้มถ่วง โดยวัตถุที่มีความเร็วมากพอ จะหลุดออกจากแรงโน้มถ่วงของดาวดวงหนึ่งได้แบบพอดิบพอดี จะมีเส้นทางเป็นโค้งพาราโบลา แต่ถ้าวัตถุมีความเร็วมากกว่านั้น มันจะหลุดออกไปด้วยเส้นทางรูปไฮเปอร์โบลา ซึ่งมีลักษณะความโค้งที่แตกต่างออกไป ในช่วงสงครามโลกครั้งที่ 2 ระบบนำร่องเพื่อการระบุตำแหน่งของเรือเดินสมุทร และเครื่องบินนั้นเต็มไปด้วยปัญหา และความท้าทายซึ่งสิ่งที่มาช่วยแก้ปัญหานี้ได้คือ โค้งไฮเปอร์โบลา ระบบการส่งสัญญาณเพื่อระบุตำแหน่งนี้เรียกว่า Hyperbolic Navigation ซึ่งเป็นเทคโนโลยีที่ใช้กันในช่วงแรก ๆ ของระบบนำร่อง ส่วนระบบอย่าง GPS นั้น ตัวรับสัญญาณ (ในมือถือ) ต้องมีวิธีการเซ็ตสัญญาณให้ตรงกับตัวปล่อยสัญญาณ (ในดาวเทียม) อีกทั้ง ตัวปล่อยสัญญาณยังต้องจับเวลาได้อย่างแม่นยำและมีเสถียรภาพสูง ซึ่งเทคโนโลยีในช่วงสงครามโลกยังทำไม่ได้ แต่เมื่อระบบ GPS อันแม่นยำสูงหรือกำเนิดขึ้น การนำร่องด้วย Hyperbolic Navigation ก็ได้รับความนิยมลดลง
ใครคิดค้นการวาดกราฟขึ้นเป็นคนแรก
นักปรัชญาชาวฝรั่งเศสผู้มีนามว่า เรอเน เดการ์ต ผู้ช่างสงสัยถึงขั้นครางแคลงว่าเอกภพทั้งหมดที่รับรู้อาจเป็นเพียงมายา เดการ์ตเชื่อว่า สิ่งหนึ่งที่รู้ได้อย่างแน่นอนคือการมีตัวตนของเรา เพราะเมื่อคิด นั่นหมายความว่าตัวเราย่อมต้องมีอยู่ จึงจะเกิดความคิดขึ้นมาได้ นี่คือที่มาของคำกล่าวที่ว่า ฉันคิด ฉันจึงมีอยู่ วิชาพีชคณิตที่ศึกษาสมการและการแก้สมการเป็นสิ่งที่แยกขาดจากเรขาคณิตที่ศึกษารูปร่างรูปทรง แต่เดการ์ตเป็นผู้ที่จับสองศาสตร์นี้มารวมร่างกัน กล่าวคือเขาศึกษาการเขียนสมการเพื่อสร้างโค้งทางเรขาคณิตขึ้น หรือเรียกอีกอย่างว่า วาดกราฟ
ตั้งแต่นั้นเป็นต้นมาศาสตร์ใหม่ที่ชื่อว่า เรขาคณิตวิเคราะห์ก็ถือกำเนิดขึ้น และคณิตศาสตร์กลายเป็นเครื่องมือที่ทรงพลังอย่างยิ่ง เพราะนักฟิสิกส์สามารถเขียนกฎของธรรมชาติในรูปแบบสมการ แล้วเขียนกราฟจากสมการดังกล่าวออกมาเป็นภาพ เพื่อทำการวิเคราะห์ตัวแปรต่าง ๆ ที่สนใจได้อย่างละเอียด ในเวลาต่อมาไม่นาน นักคณิตศาสตร์คนอื่น ๆ ได้คิดค้นกราฟแบบต่าง ๆ ออกมาและวิเคราะห์กันมากมาย ส่งผลให้เลขาคณิตวิเคราะห์เติบโตจนกลายเป็นศาสตร์ที่ซับซ้อนอย่างมากในปัจจุบัน
ปริศนาสุดท้ายของแฟร์มาอสุรกาย 3 ศตวรรษแห่งโลกคณิตศาสตร์
ทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มา เป็นหนึ่งในปัญหาคณิตศาสตร์ที่โหดหินที่สุดปัญหาหนึ่งเพราะตลอด 300 กว่าปีที่มันถือกำเนิดขึ้นมาไม่มีใครสามารถพิชิตได้เลย ความน่าทึ่งคือปัญหาข้อนี้เรียบง่ายและเข้าใจง่ายมาก ปัญหาของแฟร์มาเผยโฉมขึ้นครั้งแรกในปี ค.ศ 1637 โดยชายชาวฝรั่งเศสผู้มีนามว่า ปีแยร์ เดอ แฟร์มา สามารถทำความเข้าใจทฤษฎีบทสุดท้ายได้ไม่ยากโดยเริ่มจากทฤษฎีบทของพีทาโกรัส แฟร์มาเขียนโน้ตปัญหาข้อนี้ไว้ที่ขอบกระดาษในหนังสือ Arithmetica ซึ่งเป็นหนังสือที่เขียนโดย ไดโอแฟนตัส นักคณิตศาสตร์ยุคกรีกโบราณว่า ข้าพเจ้าได้ค้นพบการพิสูจน์ข้อเท็จจริงอันแสนมหัศจรรย์นี้แต่มีพื้นที่ให้เขียนไม่พอ
การที่เขาเพียงแต่เขียนทิ้งไว้แบบนั้น โดยไม่ได้แสดงวิธีการพิสูจน์ทำให้ข้อความนี้กลายเป็นสิ่งลึกลับ รวมทั้งไม่มีใครรู้เจตนาที่แท้จริงของแฟร์มา ที่สำคัญคือการที่เขาเขียนทิ้งไว้แบบนั้นเป็นเหมือนการท้าทายให้นักคณิตศาสตร์คนอื่น ๆ มองหาวิธีพิสูจน์นี้ให้เจอ นักคณิตศาสตร์ผู้มีชื่อเสียงมากมาย จึงพุ่งเข้าหาโจทย์ข้อนี้หมายพิชิตมันลง ในที่สุดปี ค.ศ 1994 นักคณิตศาสตร์อังกฤษผู้ทำงานที่มหาวิทยาลัยพรินซตัน แอนดรูว์ ไวลส์ ได้ประกาศว่าเขาแก้ปัญหานี้ได้สำเร็จ และมีการตีพิมพ์การพิสูจน์นี้ในปี ค.ศ. 1995 ด้วยความยาว 109 หน้า นับเป็นเวลานานถึง 358 ปี กว่าจะมีการพิสูจน์ปัญหาข้อนี้ลงได้ แอนดรูว์ ใช้เวลานานกว่า 7 ปีในการพิสูจน์ ก่อให้เกิดทฤษฎีบทใหม่ ๆ เกี่ยวกับทฤษฎีจำนวนมากมาย ส่งผลให้แอนดรูว์ได้รับรางวัลมากมาย รวมทั้งได้รับยศอัศวินในปี ค.ศ. 2000 นับเป็นอัศวินผู้พิชิตมังกรแห่งโลกคณิตศาสตร์ได้อย่างสวยงามและสมบูรณ์แบบจริง ๆ
เกลียวก้นหอย เส้นโค้งที่พบได้ตั้งแต่อะตอมจนถึงกาแล็กซี
รูปร่างรูปทรงในธรรมชาติรอบตัว แทบไม่มีสามเหลี่ยมหรือสี่เหลี่ยมเลย ส่วนเกลียวก้นหอย (Spiral) เป็นหนึ่งในโครงสร้างคณิตศาสตร์ที่พบเห็นได้ทั่วไปในธรรมชาติ ลายนิ้วมือมนุษย์ คอเคลีย (Cochlea) ซึ่งเป็นอวัยวะควบคุมการทรงตัวที่อยู่ในหูชั้นใน เส้นทางของอนุภาคที่มีประจุไฟฟ้าในสภาพแวดล้อม บางอย่างก็เคลื่อนที่เป็นเกลียวก้นหอยโครงสร้างขนาดใหญ่อย่างพายุ ลักษณะสนามแม่เหล็กที่ดวงอาทิตย์ที่แผ่ออกมาโดยรอบ รวมทั้งกาแล็กซีบางประเภทก็มีลักษณะเป็นเกลียวก้นหอย
ราว 225 ปีก่อนคริสตกาล นักคณิตศาสตร์ชาวกรีกผู้มีนามว่า อาร์คิมีดีสได้เขียนหนังสือ On Spirals ซึ่งกล่าวถึงคุณสมบัติเชิงเรขาคณิตของโค้งก้นหอย ที่ตีเกลียวขยายวงอย่างสม่ำเสมอมันจึงถูกเรียกว่า เกลียวก้นหอยของอาร์คิมีดีส (Archimedean Spiral) โค้งก้นหอยแบบลอการิทึมนั้นมีรูปแบบพิเศษอยู่ 2 รูปแบบ ที่มีเรื่องราวน่าสนใจมากโค้ง แบบแรกเรียกว่าก้นหอยทองคำ (Golden Spiral) ซึ่งเชื่อมโยงกับเรื่องของสัดส่วนทองคำอย่างแนบแน่น โค้งแบบที่ 2 เรียกว่า loxodrome ซึ่งเกี่ยวข้องกับการเดินทางในสมัยโบราณ
สัดส่วนทองคำ เมื่อคณิตศาสตร์เข้ามาพิสูจน์ความงาม
ราวพันปีก่อน นักคณิตศาสตร์อิตาเลียนผู้มีนามว่า ฟีโบนักชี (Fibonacci) สร้างปัญหาทางคณิตศาสตร์ที่มีคำตอบเป็นชุดตัวเลขแปลกประหลาด ชุดตัวเลขเหล่านี้เรียงกันด้วยกฎบางอย่างที่ชัดเจนนั่นคือ เลขตัวต่อไปจะเกิดจากเลข 2 ตัวก่อนหน้ามารวมกัน ทำแบบนี้ไปเรื่อย ๆ จะได้ชุดเลขที่มีชื่อว่าลำดับฟีโบนักซี (Fibonacci Sequence) นักคณิตศาสตร์พบว่า ยิ่งนำเลขจำนวนมากมาหารเลขก่อนหน้าในลักษณะนี้ จะยิ่งได้ตัวเลขที่ใกล้เคียงกับค่าคงที่ค่าหนึ่ง ที่มีชื่อว่าสัดส่วนทองคำ (Golden Ratio) ซึ่งมีค่าเป็น 1.6180339887…
ทุกวันนี้นักประวัติศาสตร์และอื่น ๆ พยายามมองหาสี่เหลี่ยมผืนผ้าทองคำ ที่แฝงอยู่ในงานศิลปะสถาปัตยกรรมและอื่น ๆ มากมาย ตั้งแต่วิหารพาร์เธนอน โมนาลิซ่า สถาปนิกระดับโลกอย่าง เลอ กอร์บูชิเยร์ ก็นำแนวคิดเรื่องสัดส่วนทองคำมาใช้ ในอธิบายสัดส่วนของมนุษย์ที่เรียกว่าModulor ที่น่าสนใจคือภายในเกลียวตามธรรมชาติเหล่านี้ ยังมีตัวเลขในลำดับฟีโบนักซีซ่อนอยู่อีก เช่น หากนับเกลียววนขวาและวนซ้ายของสับปะรดจะพบว่า มันมีจำนวนเป็น 8 และ 13 นี่เป็นหัวข้อที่นักวิทยาศาสตร์พยายามมองหาคำตอบในเชิงวิวัฒนาการว่า เหตุใดตัวเลขเหล่านี้จึงก่อให้เกิดประสิทธิภาพในการดำรงชีวิต หรือว่ามันเป็นเพียงเหตุบังเอิญที่มนุษย์สนใจ แล้วไปมองหาจนเจอเท่านั้น
ทำไมเส้นทางที่สั้นที่สุดอาจไม่ใช่เส้นทางที่ดีที่สุด
การเดินทางไกล ๆ ในสมัยโบราณนั้นเต็มไปด้วยความเสี่ยงถึงชีวิต โดยเฉพาะอย่างยิ่งการหลงทิศหลงทาง การเดินทางให้ถึงจุดหมายปลายทางโดยเร็ว ย่อมเป็นการลดความเสี่ยงต่าง ๆ ลงได้ แต่เชื่อไหมว่าในหลาย ๆ กรณีการเดินทางระยะไกลด้วยเครื่องบินหรือเรือเดินสมุทรนั้น อาจเลือกเส้นทางที่ยาวกว่า แทนที่จะเลือกเส้นทางสั้น ๆ ในทางทฤษฎีการเดินทางด้วยเส้นทางที่สั้นที่สุด นอกจากจะประหยัดเวลาแล้วยังประหยัดเชื้อเพลิงอีกด้วย แต่การเดินทางบน The Great Circle นั้นเป็นเรื่องยาก ส่วนเส้นทางที่ยาวไกลกว่าเรียกว่า Rhumb line กลับเป็นเส้นทางที่สะดวกกว่ามาก ๆ Rhumb line คือเส้นทางที่ทำมุมค่าเดิมเสมอกับเส้นลองจิจูด ซึ่งถ้าลาก Rhumb line ให้ยาวออกไปเรื่อย ๆ มันจะวิ่งไปยังขั้วโลกเหนือเป็นรูปเกลียวก้นหอยที่เรียกว่า loxodrome หากเดินทางตามเส้นทาง Rhumb line ทิศทางที่มุ่งหน้าไปจะทำมุมกับทิศเหนือด้วยมุมค่าเดิมเสมอ ซึ่งจะง่ายและสะดวกมากสำหรับการเดินทาง แนวคิดเรื่องเส้น Rhumb line ถือกำเนิดขึ้นจากนักคณิตศาสตร์ และนักภูมิศาสตร์ชาวโปรตุเกสนามว่า เปโดร นูเนส (Pedro Nunes) ผู้มีชีวิตอยู่ในช่วงปี ค.ศ. 1502 – 1578 ซึ่งในยุคสมัยนั้นยังไม่สามารถระบุเส้นลองจิจูดของโลกได้อย่างแม่นยำ ทำให้การเดินทางด้วย Rhumb line นั้นมีความสำคัญมาก นอกจาก The Great Circle และ Rhumb line ยังมีอีกเส้นทางหนึ่งที่ใช้ในการเดินทางได้เป็นอย่างดี นั่นคือเส้นทางที่ใช้ประโยชน์จากกระแสลมได้อย่างเต็มที่เช่น North Atlantic Tracks
ใครคิดค้นตรีโกณมิติ วิชาที่เด็กทั่วโลกต้องเรียน
หากต้องการวัดความสูงของต้นไม้ต้นหนึ่งโดยไม่ต้องปีน วิธีหนึ่งคือการยืนห่างจากต้นไม้ออกมาพอสมควร แล้ววัดว่าต้องเงยเป็นมุมกี่องศา และวัดว่ายืนห่างจากต้นไม้เท่าใด จากนั้นนำค่าที่ได้ 2 ค่าไปคำนวณด้วยคณิตศาสตร์แขนงหนึ่งที่เรียกว่า ตรีโกณมิติ (Trigonometry) ก็จะได้ความสูงของต้นไม้ออกมาโดยไม่ต้องออกแรงปีนต้นไม้
ตรีโกณมิติเป็นคณิตศาสตร์แขนงหนึ่ง ที่ศึกษาความสัมพันธ์ระหว่างความยาวด้านต่าง ๆ และมุมของสามเหลี่ยม มีประโยชน์และถูกนำไปประยุกต์ใช้งานอย่างกว้างขวางจนกล่าวได้ว่าแทบจะไม่มีวิทยาศาสตร์ด้านไหนเลย ที่ไม่ได้ใช้ประโยชน์จากตรีโกณมิติ ผู้ที่ได้รับการขนานนามว่าเป็นบิดาแห่งตรีโกณมิติคือ ฮิปปาร์คัส (Hipparchus) อัจฉริยะผู้เก่งกาจรอบด้านแห่งยุคกรีกโบราณเขาประดิษฐ์อุปกรณ์ชื่อ Astrolabe ซึ่งใช้ในการวัดตำแหน่งของดาวด้วยตาเปล่าได้อย่างแม่นยำที่สุด ทุกวันนี้ Astrolabe ก็ยังใช้ในการเรียนการสอนดาราศาสตร์ และใช้ในการวัดมุมอย่างง่ายสำหรับนักดาราศาสตร์มือสมัครเล่น
กำเนิดค่า e ดอกเบี้ยที่จ่ายถี่ยิ่งกว่าทุกลมหายใจ
เวลาเรียนวิชาคณิตศาสตร์ ค่าคงที่ e เป็นหนึ่งในค่าคงที่ที่ปรากฏขึ้นมาบ่อยมาก ในมุมมองเชิงประวัติศาสตร์ นักคณิตศาสตร์เริ่มระแคะระคายและเข้าใกล้ค่า e มาตั้งแต่ต้นศตวรรษที่ 17 แล้ว แต่การค้นพบค่า e จริง ๆ เกิดขึ้นโดย เจคอบ แบร์นูลลี (Jacob Bernoulli) นักคณิตศาสตร์ชาวสวิสแห่งตระกูลแบร์นูลลีที่เต็มไปด้วยอัจฉริยะ โดยเขาค้นพบในปี ค.ศ 1683 เมื่อเขาพยายามไขปริศนาเรื่องดอกเบี้ย คำถามที่เจคอบขบคิดคือ ถ้าธนาคารจ่ายดอกเบี้ยถี่มากในระดับรัวยิก จนช่วงความแตกต่างของเวลาระหว่างการจ่ายดอกเบี้ยแต่ละครั้งเข้าใกล้ศูนย์ จำนวนเงินที่มีตอนสิ้นปีจะเป็นเท่าไหร่ คำตอบที่เขาได้คือ 2.71828 ซึ่งก็คือค่า e นั่นเอง ข้อสรุปหนึ่งที่ได้จากปัญหาข้อนี้คือ ในการจ่ายดอกเบี้ยนั้นต่อให้ถี่ยิบสุด ๆ ก็ไม่ได้ทำให้เงินเพิ่มจนเป็นอนันต์เมื่อถึงปลายปี
ออยเลอร์ผู้สร้างสมการที่สวยงามที่สุดในโลกคณิตศาสตร์
ในโลกคณิตศาสตร์นั้นมีนักคณิตศาสตร์คนหนึ่ง ที่แม้จะจัดอันดับอย่างไรบุคคลผู้นี้ก็ต้องติด 1 ใน 10 สุดยอดนักคณิตศาสตร์โลกอย่างแน่นอน เขาเป็นนักคณิตศาสตร์ชาวสวิสผู้มีนามว่า เลออนฮาร์ด ออยเลอร์ (Leonhard Euler) ผลงานของออยเลอร์นั้นมีมากมายเกินจะกล่าว แต่ที่น่าประทับใจที่สุดอย่างหนึ่งคือ การสร้างสูตรของออยเลอร์ (Euler’s formula) ซึ่งริชาร์ด เฟย์นแมน สุดยอดนักฟิสิกส์เคยกล่าวไว้ว่า เป็นสูตรที่มีความสำคัญอย่างยิ่ง เพราะมันนำไปสู่สมการที่ได้รับการยอมรับว่างดงามที่สุดในโลกคณิตศาสตร์ นั่นคือ Euler’s identity ความงามของสมการนี้เป็นผลรวมเศษส่วนของ Basel Problem จนถึง Euler Line นั่นอาจไม่ได้มีการประยุกต์ใช้ที่ชัดเจน แต่ความงามเหล่านี้ไม่ต่างอะไรจากดอกไม้ อัญมณี หรือแม้แต่ทิวทัศน์ ที่ไม่ได้ช่วยให้อิ่มท้องแต่ช่วยให้อิ่มเอมใจ
สะพานทั้ง 7 แห่งเมืองเคอนิชแบร์ค สะพานที่ทอดยาวสู่อนาคตโลกคณิตศาสตร์
ราว 300 ปีก่อนที่เมืองเคอนิชส์แบร์ค (Konigsberg) ประเทศปรัสเซีย (ปัจจุบันเป็นเมืองคาลีนินกราด ประเทศรัสเซีย) มีแม่น้ำพรีเกล (Pregel River) ไหลผ่าน บริเวณหนึ่งมีเกาะกลางแม่น้ำขนาดใหญ่ 2 เกาะ โดยทั้งสองเกาะเชื่อมต่อกันกับแผ่นดินใหญ่ และเชื่อมกันเองด้วยสะพาน 7 แห่ง ว่ากันว่าใครก็ตามที่มาเมืองนี้ มักถูกท้าให้ลองเดินข้ามสะพานทั้ง 7 ให้ครบโดยต้องไม่เดินซ้ำสะพานเดิม เรื่องสะพานทั้ง 7 นี้เป็นแค่การท้าทายสนุก ๆ เท่านั้นไม่มีใครคิดจริงจังกับมัน จนกระทั่งราวปี ค.ศ. 1735 สุดยอดนักคณิตศาสตร์ชาวสวิส เลออนฮาร์ต ออยเลอร์ ได้คิดถึงปัญหาข้อนี้อย่างจริงจัง โดยเขาสามารถพิสูจน์ด้วยคณิตศาสตร์จนได้ผลลัพธ์ชัดเจนว่า การข้ามสะพานให้ครบ 7 สะพานโดยไม่เดินซ้ำนั้นเป็นไปไม่ได้อย่างแน่นอน ปัญหาข้อนี้เป็นต้นกำเนิดคณิตศาสตร์แขนงใหม่ที่มีชื่อว่า ทฤษฎีกราฟ (Graph Theory)
ทฤษฎีกราฟยังงอกเงยไปเป็นหัวข้อน่าสนใจทางคณิตศาสตร์อื่น ๆ เช่น Art Gallery Problem ซึ่งพยายามหาว่าแกลเลอรี่แสดงงานศิลปะ ต้องใช้ยามหรือกล้องวงจรปิดอย่างน้อยกี่คน จึงจะสามารถสอดส่องดูแลทั้งแคลอรี่ได้อย่างครอบคลุมทั่วถึง แน่นอนว่าคำตอบขึ้นอยู่กับลักษณะของแกลเลอรีแต่ละแห่ง
น่าเสียดายที่ในปัจจุบัน สะพานทั้ง 7 แห่งเคอนิชส์แบร์คหลงเหลือเพียง 5 สะพาน ซึ่งเป็นผลมาจากสงครามโลกครั้งที่ 2 ทำไมออยเลอร์จึงสนใจมาคิดปัญหาที่ไม่เคยมีใครคิด จนค้นพบทฤษฎีกราฟ ไอแซก อาสิมอฟ (Issac Asimov) นักเขียนนิยายวิทยาศาสตร์ ผู้มีจินตนาการสุดล้ำเคยกล่าวไว้ว่า คำกล่าวเวลาจะมีการค้นพบอะไรใหม่ ๆ ทางวิทยาศาสตร์ไม่ใช่คำว่า ยูเรก้า แต่เป็นคำกล่าวที่ว่านี่มันน่าสนุกแฮะ การค้นพบของออยเลอร์ในเรื่องนี้ อาจเป็นหนึ่งในหลักฐานที่ยืนยันได้เป็นอย่างดีว่า การคิดเอามันหรือสนุก ๆ อาจนำไปสู่การค้นพบอะไรใหม่ ๆ ก็ได้
เซลล์แมนที่วางแผนเดินทางนับพันปี
ราว 400 ปีก่อน ปีแยร์ เดอ แฟร์มา นักคณิตศาสตร์ฝรั่งเศสเขียนจดหมายแนบปัญหาท้าทาย เอวานเจสิลสตา ทอริเชลลี (Evangelista Torricelli) นักคณิตศาสตร์อิตาเลียน ศิษย์เอกของกาลิเลโอ ผู้ประดิษฐ์เครื่องวัดความดันที่เรียกว่า บารอมิเตอร์ได้เป็นคนแรกของโลก คำถามมีอยู่ว่า หากมีเมืองอยู่ 3 เมืองเรียงเป็นรูปสามเหลี่ยมใด ๆ แล้วต้องการตัดถนนเป็นเส้นตรงเพื่อให้ทั้งสามเมืองไปมาหาสู่กันได้ทั้งหมด ต้องตัดถนนอย่างไรให้ความยาวของถนนรวมแล้วสั้นที่สุด ปัญหาดังกล่าวถูกขยับขยายไปเป็นการเชื่อมต่อระหว่างจำนวนเมืองที่มากขึ้น ปัญหาลักษณะนี้ถูกเรียกรวม ๆ ว่าปัญหาต้นไม้ของสไตล์เนอร์ (Steiner tree problem) ซึ่งสามารถแก้โดยใช้ทฤษฎีกราฟได้
ปัจจุบันความรู้ด้านนี้ถูกนำไปประยุกต์ใช้กับการออกแบบ แผนวงจรอิเล็กทรอนิกส์โทรคมนาคม รวมทั้งระบบเครือข่ายคอมพิวเตอร์ ที่ทำให้คอมพิวเตอร์หลาย ๆ เครื่องสามารถแลกเปลี่ยนข้อมูล และทำงานประสานกันได้ ปัญหาอีกประเภทหนึ่งที่คล้ายคลึงกับปัญหาต้นไม้ของสไตเนอร์มีชื่อว่า ปัญหาการเดินทางของเซลล์แมน (Travelling salesman problem) นั่นคือ หากเซลล์แมนคนหนึ่งต้องการเดินทางไปตามเมืองต่าง ๆ ซึ่งมีตำแหน่งและถนนที่ชัดเจนอยู่แล้ว เขาต้องเดินทางอย่างไรให้ครบถ้วนทุกเมือง แล้วกลับมายังจุดเริ่มต้นโดยใช้ระยะทางรวมแล้วน้อยที่สุด การหาคำตอบทั้งหมดที่เป็นไปได้มาเทียบกันโดยตรงแบบนี้เรียกว่า Exact Algorithms ซึ่งหากใช้วิธีการที่ดี และคอมพิวเตอร์ที่แรงมาก ๆ อาจคำนวณเส้นทางได้นับหมื่นเมือง การแก้ปัญหาเซลล์แมนที่มีจำนวนเงินเป็นล้านเมือง อาจทำได้ด้วยวิธีการประมาณการเส้นทางที่ดีที่สุด ซึ่งก็มีมากมายหลายวิธี โดยวิธีเหล่านี้มีการนำไปประยุกต์ใช้ในการแก้ปัญหาต่าง ๆ มากมาย
การแจกแจงคณิตศาสตร์ที่มีประโยชน์ครอบจักรวาล
ลาดิสลาอูส์ โบร์ตคีวิช (Ladislaus Bortkiewicz) นักเศรษฐศาสตร์ชาวรัสเซีย ผู้มีชีวิตคาบเกี่ยวในช่วงสงครามโลกครั้งที่ 1 เกิดความฉงนในความตายของทหารรัสเซีย ที่เสียชีวิตด้วยอุบัติเหตุจากการถูกม้าเตะ จึงนำข้อมูลของทหาร 14 กองในช่วงเวลา 20 ปีมาศึกษา ชีวิตโบว์ชีวิตคำนวณจากข้อมูลเหล่านี้จนพบว่าโดยเฉลี่ยแล้ว 1 ปีจะมีทหารเสียชีวิตจากการถูกม้าเตะ 0.7 คน การกระจายตัวของข้อมูลในลักษณะนี้ ถูกเรียกว่าการแจกแจงแบบปัวซง (Poisson Distribution) ถูกค้นพบในปี ค.ศ 1837 โดย ซิเมอง เดนิส ปัวซง (Simeon Denis Poisson) นักคณิตศาสตร์และนักฟิสิกส์ชาวฝรั่งเศส ข้อมูลที่กระจายตัวในรูปแบบนี้มีมากมาย ตั้งแต่จำนวนอุกกาบาตลูกใหญ่ที่จะตกใส่โลกในช่วง 10 ปี จนถึงจำนวนผู้ป่วยที่เข้ามายังห้องฉุกเฉินในช่วง 30 นาที
แน่นอนว่าการกระจายตัวของข้อมูล (การแจกแจง) มีหลากหลายรูปแบบ การเข้าใจธรรมชาติของข้อมูลก่อนนำมาวิเคราะห์ จึงเป็นสิ่งสำคัญอย่างยิ่ง อย่างไรก็ตามในโลกความจริงข้อมูลอาจไม่ได้กระจายตัวตรงตามทฤษฎีอย่างสมบูรณ์แบบ ซึ่งเป็นผลมาจากตัวแปรอันสลับซับซ้อน ทุกวันนี้มนุษย์เก็บข้อมูลมากมายเพื่อศึกษาการกระจายตัว ซึ่งมีความสำคัญในศาสตร์แทบทุกแขนง ทั้งวิทยาศาสตร์ไปจนถึงการตลาด และใช้ข้อมูลการกระจายตัวเพื่อบริหารรายจ่ายของบ้าน ตลอดจนถึงการบริหารประเทศ ข้อมูลจึงเป็นสิ่งที่ทรงพลัง และในแง่หนึ่งมันอาจมีมูลค่าไม่ต่างจากทองคำเลยทีเดียว
การแจกแจงแบบปกติสำคัญอย่างไร
การแจกแจงเป็นหนึ่งในเครื่องมือทางคณิตศาสตร์ที่ทรงพลังอย่างยิ่ง ในการวิเคราะห์และวางแผนเรื่องต่าง ๆ ทั้งด้านเศรษฐศาสตร์การตลาดจนถึงวิทยาศาสตร์ แต่ปัญหาคือการเก็บข้อมูลในกลุ่มประชากรที่มีขนาดใหญ่นั้นไม่ใช่เรื่องง่าย นักคณิตศาสตร์พบว่ามีการแจกแจงชนิดหนึ่งที่เปรียบได้กับศูนย์กลางของการแจกแจงทั้งหมด ซึ่งเป็นประโยชน์ต่อการวิเคราะห์และช่วยในการเข้าถึงข้อมูลสำคัญของประชากรจำนวนมากได้เป็นอย่างดี นั่นคือการแจกแจงปกติ (Normal distribution) เหตุผลที่ทำให้การแจกแจงแบบปกติมีความสำคัญในเชิงสถิติ และการวิเคราะห์เป็นผลมาจาก Central Limit Theorem ซึ่งถูกค้นพบโดย ปิแยร์-ซีมง ลาปลาส (Pierre-Simon Laplace) นักคิดผู้ได้รับสมญาว่านิวตันแห่งฝรั่งเศส
Central Limit Theorem แสดงให้เห็นว่า หากนำค่าเฉลี่ยจากกลุ่มตัวอย่างเหล่านี้มาเขียนกราฟ จะได้การแจกแจงแบบปกติเสมอ ไม่ว่าการแจกแจงประชากรจริง ๆ จะมีลักษณะอย่างไรก็ตาม ที่เจ๋งไปกว่านั้นคือยิ่งสมาชิกของตัวอย่างมีจำนวนมาก ค่าเฉลี่ยการแจกแจงของกลุ่มตัวอย่างเหล่านั้นจะมีค่าใกล้เคียงกับค่าเฉลี่ยแท้จริงของประชากร ทำให้ไม่ต้องไปหาค่าเฉลี่ยจากคนทั้งหมดก็ได้ สรุปสั้น ๆ ว่าหากสุ่มตัวอย่างที่มีขนาดกลุ่มใหญ่มากพอมาหาค่าเฉลี่ยหลาย ๆ ครั้ง ค่าเฉลี่ยของกลุ่มตัวอย่างเหล่านั้น จะมีการกระจายตัวเป็นการแจกแจงแบบปกติ ค่าเฉลี่ยของการแจกแจงแบบปกติดังกล่าว จะใกล้เคียงกับค่าเฉลี่ยของประชากรแท้จริง
ปริศนา 17 เหลี่ยมด้านเท่า จุดเริ่มต้นของสุดยอดนักคณิตศาสตร์โลก
นักคณิตศาสตร์นับตั้งแต่ยุคกรีกโบราณกว่า 2000 ปีก่อน หลงใหลการสร้างรูปร่างรูปทรงทางเรขาคณิตด้วยอุปกรณ์เรียบง่าย 2 อย่างคือ ไม้บรรทัดกับวงเวียน สุดยอดนักคณิตศาสตร์ตลอดกาลอย่างยูคลิด ผู้มีชีวิตอยู่ในช่วง 400 ปีก่อนคริสตกาล แสดงการสร้างรูปหลายเหลี่ยมด้านเท่าตั้งแต่ 3 เหลี่ยม 4 เหลี่ยม 5 เหลี่ยม และ 15 เหลี่ยมด้านเท่าไว้อย่างชัดเจน ส่วนจำนวนเหลี่ยมมากกว่านั้นเป็น 2 เท่า ก็สามารถหาได้ไม่ยาก
คำถามคือ หลายเหลี่ยมด้านเท่าที่ยูคลิดไม่ได้แสดงวิธีสร้างวนั้น ถูกสร้างขึ้นมาได้หรือไม่ เมื่อ 200 ปีก่อนชายหนุ่มวัยรุ่นในวัย 19 ปี ผู้กำลังลังเลระหว่างการเรียนต่อด้านภาษาศาสตร์และคณิตศาสตร์ได้ขบคิดปัญหาการสร้างหลายเหลี่ยมด้านเท่า จนพบกับคำตอบอย่างแรกคือ เขาพิสูจน์ให้เห็นได้ว่า 7, 9, 11, 13 เหลี่ยมด้านเท่าที่ยูคลิดไม่ได้แสดงวิธีการสร้างไว้ ไม่มีทางสร้างด้วยไม้บรรทัดกับวงเวียนได้อย่างแน่นอน การค้นพบนี้น่าทึ่งมาก เพราะการพิสูจน์หักล้างนั้นเป็นอะไรที่ยากสุด ๆ อย่างที่ 2 คือเขาไปไกลกว่ายูคลิด ด้วยการพิสูจน์ว่า 17 เหลี่ยมด้านเท่าสามารถถูกสร้างได้
การค้นพบทั้งหมดนี้เกิดขึ้นจากการนำความรู้เชิงพีชคณิตมาผสมกับเรขาคณิต จนสามารถสร้างการพิสูจน์อันน่าอัศจรรย์ ทำให้เขาตัดสินใจเลือกเส้นทางชีวิตมาเรียนด้านคณิตศาสตร์ และกลายเป็นสุดยอดนักคณิตศาสตร์โลก ที่ผลงานของเขามีมากมายจนยากจะอธิบายให้ครบทั้งหมดเขามีชื่อว่า คาร์ล ฟรีดริช เกาส์ (Carl Friedrich Gauss) สุดยอดนักคณิตศาสตร์แห่งเยอรมนี ผู้ยิ่งใหญ่ที่สุดคนหนึ่งของโลก
เกาส์ อัจฉริยะผู้พบดาวเคราะห์ที่หายไป
คาร์ล ฟรีดริส เกาส์ สุดยอดนักคณิตศาสตร์แห่งเยอรมนี สร้างผลงานยิ่งใหญ่ไว้มากมายในวันที่ 1 มกราคม ค.ศ 1801 จูเซปเป ปีอัชชี นักดาราศาสตร์ชาวอิตาลี คนพบดาวดวงหนึ่งซึ่งในขณะนั้นเชื่อกันว่า เป็นดาวเคราะห์ดวงใหม่มันถูกตั้งชื่อว่าเซเรส แต่หลังจากค้นพบได้ไม่นานนักช่วงกลางปีนั่นเอง โลกของเราโคจรเปลี่ยนตำแหน่งทำให้เซเรสปรากฏในตำแหน่งที่แสงจากดวงอาทิตย์สาดรบกวนการสังเกตจนมันหายไป ในตอนนั้นเหล่านักดาราศาสตร์ตื่นตกใจเพราะกลัวว่าจะมองหามันไม่เจออีก แต่ คาร์ล ฟรีดริส เกาส์ นักคณิตศาสตร์วัย 24 ปีได้แสดงสิ่งที่เป็นเหมือนอภินิหาร ด้วยการนำข้อมูลการสังเกตไม่กี่ครั้งก่อนหน้านี้มาคำนวณ จนแสดงให้เห็นว่าต้องมองไปบริเวณใดจึงจะพบเซเรสอีกครั้ง ผลงานนี้ส่งผลให้เขามีชื่อเสียงและได้เป็นผู้อำนวยการหอดูดาวในเวลาต่อมา บั้นปลายชีวิตเขายังได้บุกเบิกการศึกษาสนามแม่เหล็กโลก ส่งผลให้ทุกวันนี้หนึ่งในหน่วยวัดความแรงของสนามแม่เหล็กคือเกาส์
สมมติฐานของรีมันปัญหาที่มีรางวัลเป็นเงิน 1 ล้านเหรียญสหรัฐ
ริชาร์ด เฟย์นแมน นักฟิสิกส์อัจฉริยะ ผู้สร้างทฤษฎีควอนตัมอิเล็กโทรไดนามิกส์ (Quantum Electrodynamics) เฟย์นแมนเชื่อว่าสมมติฐานเรื่องอะตอมสำคัญที่สุด ในโลกแห่งแคมีและวัสดุ การเข้าใจธรรมชาติของอะตอม ซึ่งเป็นหน่วยย่อยที่สุดของสสารต่าง ๆ นั้นสำคัญอย่างยิ่ง เพราะทำให้นักวิทยาศาสตร์เข้าใจว่าสมบัติต่าง ๆ ของสสารนั้นเกิดจากอะไร ทำให้พวกเขาสามารถสังเคราะห์สสารขึ้นมาได้ อย่างเที่ยงตรงซ้ำแล้วซ้ำเล่าเท่าที่ต้องการ
ย้อนกลับไปเกือบ 200 ปีก่อน ในปี ค.ศ. 1826 เด็กชายคนหนึ่งถือกำเนิดขึ้นมาในหมู่บ้านเล็ก ๆ ชื่อเบรเซเลนซ์ (Breselenz) ในประเทศเยอรมนี เด็กน้อยคนนี้ส่งงานช้าเป็นประจำ เนื่องจากเขาเป็นพวกนิยมความสมบูรณ์แบบ และชอบคิดอะไรด้วยตัวเองโดยไม่ไถ่ถามใคร ต่อมาเมื่อเข้ามหาวิทยาลัย เขาเรียนด้านคณิตศาสตร์จนจบปริญญาเอก โดยมีอาจารย์ที่ปรึกษาเป็นสุดยอดนักคณิตศาสตร์โลกคือ คาร์ล ฟรีดริส เกาส์ ชายผู้นี้มีนามว่า แบร์นฮาร์ด รีมันน์ (Bernhard Riemann) ผู้ที่ต่อมาได้กลายเป็นนักคณิตศาสตร์ ผู้มีผลงานกระหึ่มโลกทั้งในด้านต่าง ๆ ทฤษฎีจำนวน (Number Theory) ซึ่งผลงานในหมวดหมู่เรื่องทฤษฎีจำนวนนี่เอง ที่นำมาสู่การถือกำเนิดของปัญหาข้อหนึ่งที่ยากที่สุดในโลกคณิตศาสตร์ชื่อ สมมติฐานของรีมันน์ (Riemann Hypothesis) ในปี ค.ศ 1859
ปัญหาข้อนี้สำคัญต่อโลกคณิตศาสตร์อย่างมาก เพราะมันสัมพันธ์อย่างแนบแน่นกับธรรมชาติของจำนวนเฉพาะ ซึ่งเป็นอะตอมแห่งโลกจำนวนเต็ม นักคณิตศาสตร์มากมายพยายามแก้ปัญหานี้มาตลอด แต่ก็ยังแก้ไม่ได้เสียทีจนกระทั่งใน ค.ศ. 2000 สถาบันคณิตศาสตร์เคลย์ (Clay Mathematics Institute) ได้ประกาศปัญหาสำคัญ 7 ข้อซึ่งผู้ใดที่แก้ปัญหาได้จะได้รับเงินรางวัล 1 ล้านเหรียญสหรัฐต่อปัญหา 1 ข้อ (Milennium Prize Problems)
นักคณิตศาสตร์เชื่อว่าหากพิสูจน์ปัญหานี้ได้ จะทำให้โครงสร้างการกระจายตัวของจำนวนเฉพาะที่เป็นปริศนามาตลอดถูกคลี่คลาย ซึ่งหลายคนเชื่อว่ามันจะนำมาซึ่งการปฏิวัติขนานใหญ่ เกี่ยวกับโลกคณิตศาสตร์และเทคโนโลยีการเข้ารหัส ในปัจจุบันนักคณิตศาสตร์ทั่วโลก ต่างพยายามเต็มที่เพื่อแก้ปัญหานี้ แต่ไม่มีใครรู้เลยว่าเข้าใกล้คำตอบแค่ไหนแล้ว
ความน่าจะเป็นศาสตร์ที่งอกงามขึ้นจากการพนัน
ในเกมทอยลูกเต๋าเกมหนึ่ง คิดว่าเหตุการณ์แบบไหนมีโอกาสเกิดมากกว่ากัน ระหว่าง 1. ทอยลูกเต๋า 1 ลูก 4 ครั้งแล้วมีอย่างน้อย 1 ครั้งออกแต้ม 6 2. ทอยลูกเต๋า 2 ลูก 24 ครั้งแล้วมีอย่างน้อย 1 ครั้งที่ทั้ง 2 ลูกออกแต้ม 6 ปัญหานี้ถูกถามขึ้นโดย เชวาลีแยร์ เดอ เมเร นักเขียนชาวฝรั่งเศส ที่หนังสือหลายเล่มระบุว่าเขาเป็นผู้สนอกสนใจการพนันอย่างยิ่ง โดยเขาถามปัญหานี้กับเพื่อนผู้เป็นนักคณิตศาสตร์เอกของโลก 2 คน คนแรกมีนามว่า ปีแยร์ เดอ แฟร์มา ส่วนอีกคนมีชื่อว่า แบลส ปาสกาล คำตอบของปัญหานี้ต้องใช้ทฤษฎีความน่าจะเป็นมาคำนวณ ซึ่งจะพบว่า 1. ทอยลูกเต๋า 1 ลูก 4 ครั้งแล้วมีอย่างน้อย 1 ครั้งออกแต้ม 6 มีโอกาสออก 0.5177 พูดง่าย ๆ ว่ามีโอกาสออกเกินครึ่งเล็กน้อย 2. ทอยลูกเต๋า 2 ลูก 24 ครั้งแล้วมีอย่างน้อย 1 ครั้งที่ทั้ง 2 ลูกออกแต้ม 6 มีโอกาสออก 0.4914 พูดง่าย ๆ ว่ามีโอกาสออกน้อยกว่าครึ่งเล็กน้อย สรุปคือเหตุการณ์อย่างแรกมีโอกาสเกิดมากกว่า
การสร้างทฤษฎีความน่าจะเป็นของปาสกาลและแฟร์มา น่าจะแสดงให้เห็นอย่างชัดเจนว่าการพนันนั้น หากอยู่ในมือคนทั่วไปก็กลายเป็นหายนะ แต่ถ้าอยู่ในมือของนักคิดมันกลับกลายเป็นขุมทรัพย์ทางปัญญาได้
ปริศนามอนตี ฮอลล์ ปัญหาความน่าจะเป็นที่น่าจะยากที่สุดในโลก
ปริศนามอนตี ฮอลล์ เป็นหนึ่งในปัญหาเรื่องความน่าจะเป็นที่ยากที่สุดในโลก แม้ว่าปัญหานี้จะเข้าใจได้ไม่ยาก แต่มันทำให้หลายคนแม้แต่นักคณิตศาสตร์ระดับโลกถึงกับเงิบ และคิดได้คำตอบผิด ๆ มาแล้ว ปัญหาข้อนี้ถูกตั้งตามชื่อมอนตี ฮอลล์ ผู้ดำเนินรายการเกมโชว์อเมริกันชื่อ Let’s Make a Deal ในรายการจะมีประตู 3 บาน หนึ่งในด้านหลังของประตูนั้นมีรถยนต์ อีก 2 บานมีแพะ ผู้ร่วมรายการต้องเลือกประตู 1 บาน ซึ่งถ้าโชคดีก็จะได้รถยนต์กลับบ้านไป
เชื่อไหมว่าหากเปลี่ยนประตูที่เลือกไว้ หลังจากพิธีกรเดินมาเปิดประตูแพะ จะทำให้โอกาสได้รถยนต์กลับบ้านสูงกว่าการไม่เปลี่ยนประตู นี่แหละคือปริศนามอนตี ฮอลล์ ที่ถามว่า ทำไมการเปลี่ยนประตูที่เลือกไว้ทำให้มีโอกาสได้รถยนต์สูงกว่าการไม่เปลี่ยนประตู ความน่าจะเป็นเป็นปริมาณที่ค่อนข้างแปลกประหลาดกว่าปริมาณอื่น ๆ ที่รู้จักกันในชีวิตประจำวัน เพราะเป็นปริมาณที่บ่งบอกถึงโอกาสในการเกิดเหตุการณ์บางอย่างว่ามีมากน้อยแค่ไหน มันไม่ใช่ปริมาณที่ชัดเจนเหมือนปริมาณอื่น ๆ อย่างราคาสินค้า อุณหภูมิห้อง น้ำหนักตัว เป็นต้น จึงไม่น่าแปลกใจที่ความเข้าใจผิดเรื่องความน่าจะเป็นจะเกิดขึ้นเป็นเรื่องปกติ
ปัญหาวันเกิด 23 คน ความน่าจะเป็นที่ไม่น่าเชื่อ
ในคนจำนวน 23 คนที่มาเที่ยวผับ สถานการณ์ไหนมีโอกาสมากกว่า ระหว่างมีอย่างน้อย 2 คนที่เกิดวันเดียวกัน หรือไม่มีใครเกิดวันเดียวกันเลย นี่คือปัญหาวันเกิด (Birthday Problem) ซึ่งเป็นปัญหาคลาสสิคเรื่องความน่าจะเป็น ที่ผลลัพธ์จากการคำนวณค่อนข้างขัดแย้งกับสามัญสำนึก แม้ต้นกำเนิดของปัญหาข้อนี้จะไม่ชัดเจนนัก แต่แหล่งข้อมูลหลายแห่งบอกตรงกันว่า นักคณิตศาสตร์ชาวออสเตรเลียชื่อ ริชาร์ด ฟอน มิเชส (Richard von Mises) เป็นผู้ตั้งคำถามนี้ขึ้นมาในปี ค.ศ. 1939
ปัญหาวันเกิดเป็นการแสดงให้เห็นผลลัพธ์ของทฤษฎีความน่าจะเป็นที่ดูแล้วขัดกับสามัญสำนึก แต่หากทดลองหรือเก็บข้อมูลจริง ๆ ก็จะพบว่ามันถูกต้อง ความน่าสนใจคือถ้าปรับคำถามเรื่องวันเกิดเล็กน้อย ผลลัพธ์กับจะแตกต่างไปโดยสิ้นเชิง ในโลกแห่งความน่าจะเป็นนั้น ยังมีอีกหลายเรื่องที่ขัดกับสามัญสำนึก โดยเฉพาะอย่างยิ่งเมื่อนำทฤษฎีความน่าจะเป็น มาอธิบายโลกของสิ่งที่เล็กในระดับอะตอม ซึ่งเต็มไปด้วยแนวคิดน่าสนใจเชิงปรัชญา รวมทั้งเรื่องไม่น่าเชื่อมากมายหลายอย่าง
แมวของชเรอดิงเงอร์คืออะไร สำคัญอย่างไรต่อทฤษฎีควอนตัม
หากมองทฤษฎีความน่าจะเป็นในเชิงฟิสิกส์ แม้จะใช้ทฤษฎีความน่าจะเป็นคำนวณโอกาสในเกมลูกเต๋าแต่ลึก ๆ รู้ดีว่าทำแบบนั้นเพราะขาดข้อมูล พูดง่าย ๆ ว่าถ้ารู้ปัจจัยทุกอย่างที่ส่งผลต่อลูกเต๋า ย่อมสามารถคำนวณหน้าที่มันจะออกได้อย่างชัดเจน ไม่ต่างจากการจับวาง สรุปคือเห็นว่าหน้าลูกเต่านั้นออกมาสุ่มเพราะไม่รู้ตัวแปรมากมาย และไม่มีเวลามาคำนวณ ทว่าทฤษฎีควอนตัมซึ่งใช้อธิบายปรากฏการณ์ และพฤติกรรมของอนุภาคที่เล็กในระดับอะตอมได้อย่างดีเยี่ยม กลับมีพื้นฐานวางอยู่บนทฤษฎีความน่าจะเป็น
เรื่องนี้เป็นสิ่งที่นักฟิสิกส์ในยุคบุกเบิกทฤษฎีนี้หลายคนชอบ เพราะมันขัดกับสามัญสำนึกมาก ทฤษฎีดังกล่าวเรียกว่าทฤษฎีตัวแปรซ่อนเร้น (Hidden-Variable Theory) แอร์วิน ชเรอดิงเงอร์ (Erwin Schrodinger) นักฟิสิกส์ผู้สร้างสมการคลื่นที่เป็นหนึ่งในเสาหลักแห่งทฤษฎีควอนตัม ก็ไม่เชื่อว่าโลกแห่งควอนตัมเป็นโลกที่วางอยู่บนการสุ่ม การทดลองทางความคิดนี้มีชื่อว่าแมวของชเรอดิงเงอร์ สมมุติว่าในกล่องใบหนึ่งมีธาตุกัมมันตรังสีอยู่กับแมวหนึ่งตัว หากในช่วงระยะเวลาหนึ่งธาตุกัมมันตรังสีนั้นเกิดการสลายตัวออกมา รังสีจะไปโดนกลไกบางอย่างในกล่อง ทำให้ขวดยาพิษร้ายแรงแตกส่งผลให้แมวตาย แต่ก็มีโอกาสที่กัมมันตรังสีจะไม่สลายตัวออกมาซึ่งแมวก็จะยังมีชีวิตอยู่ในกล่องนั้น
เชื่อว่าหากธาตุกัมมันตรังสีอยู่ในสถานะคลุมเครือเช่นนั้น ย่อมส่งผลให้แมวอยู่ในสถานะการซ้อนทับระหว่างเป็นกับตายที่คลุมเครือไปด้วย เพราะยังไม่เปิดกล่องไปดู บทสรุปนี้เป็นสิ่งที่ขัดแย้งกับสามัญสำนึกอย่างชัดเจนเพราะรู้ดีว่าแมวจะดำรงอยู่ในสถานะเป็นกับตายไปพร้อม ๆ กันไม่ได้ ไม่ว่ามันจะอยู่ในกล่องหรือนอกกล่องก็ตาม อันที่จริงแล้วสำหรับนักฟิสิกส์หลายคน บางคนไม่สนใจสถานะของแมวก่อนการวัดด้วยซ้ำ เพราะมันไม่มีความหมายเชิงฟิสิกส์
ปัญหาของบุฟฟ่อน วิธีการหาค่าพายด้วยเข็มพันเล่ม
สุดยอดนักธรรมชาติวิทยาชาวฝรั่งเศสผู้มีนามว่า ฌอร์ฌ-หลุยส์ เลคเลิร์ค. คอมต์ เดอ บุฟฟอน ได้เขียนหนังสือ Histoire Naturelle ซึ่งเป็นสารานุกรมธรรมชาติที่เต็มไปด้วยความรู้เรื่องสัตว์ พืช แร่ เป็นต้น ที่มีภาพประกอบสวยงาม หลายคนจึงรู้จัก บุฟฟอนในฐานะนักธรรมชาติวิทยาผู้เก่งกาจ แต่อย่างหนึ่งที่หลายคนอาจไม่รู้คือ บุฟฟอนยังเป็นนักคณิตศาสตร์ผู้ถามโจทย์ปัญหาน่าสนใจไว้ด้วย โจทก์ดังกล่าวคือถ้าโปรยเข็มเย็บผ้าลงบนพื้นไม้กระดานที่มีลายขนานเรียงกัน โดยแต่ละเส้นมีระยะห่างเท่า ๆ กัน ถามว่ามีโอกาสแค่ไหนที่เข็มจะตกทับเส้นเหล่านี้ ปัญหานี้ถูกแก้ด้วยการนำวิชาแคลคูลัสมาคำนวณร่วมกับความน่าจะเป็น ยิ่งใช้เข็มจำนวนมากค่าความน่าจะเป็นที่ได้ก็ยิ่งแม่นยำ วิธีการนี้เป็นตัวอย่างแรก ๆ ของกระบวนการสุ่มจำนวนปริมาณมาก เพื่อใช้หาคำตอบซึ่งเรียกว่า Monte Carlo method ซึ่งวิธีนี้ถูกตั้งชื่อตามคาสิโนมอนติคาร์โล ในเมืองมอนติคาร์โล ประเทศโมนาโก
สาเหตุที่มันถูกตั้งเป็นชื่อนี้เพราะในช่วงสงครามโลกครั้งที่ 2 วิธีการนี้ใช้สำหรับการสร้างแบบจำลอง ซึ่งนำไปสู่การสร้างระเบิดปรมาณู โดยนักวิทยาศาสตร์ฝั่งสหรัฐอเมริกา มันจึงถูกตั้งชื่อเป็นรหัสที่เหล่านักวิทยาศาสตร์เข้าใจกัน แต่ไม่ว่าที่มาของชื่อนี้จะเป็นอย่างไร ทุกวันนี้วิธีการนี้ถูกใช้แก้ปัญหาในศาสตร์หลายแขนง ตั้งแต่การก่อตัวของกาแล็กซี่ การตรวจหามะเร็ง จนถึงการออกแบบปัญญาประดิษฐ์
การสุ่มคืออะไร เมื่อมนุษย์พยายามสร้างความไม่รู้อนาคต
การสุ่ม (Randomness) หมายถึงความสะเปะสะปะความไร้ซึ่งรูปแบบ ส่งผลให้ไม่สามารถทำนายผลลัพธ์ที่จะเกิดขึ้นในอนาคตอย่างแม่นยำได้ ที่ผ่านมานักคิดและนักวิทยาศาสตร์ พยายามศึกษาการสุ่มในแง่มุมต่าง ๆ ทั้งในเชิงปรัชญาและความพยายามในการสร้างชุดเลขสุ่มขึ้นเพื่อใช้งานในด้านต่าง ๆ ในปี ค.ศ. 1901 ลอร์ด เคลวิน อัจฉริยะผู้มีผลงานทางฟิสิกส์มหาศาล เคยพยายามสร้างชุดเลขสุ่มด้วยการเขียนตัวเลขตั้งแต่ 0 ถึง 9 ลงในการ์ดใบเล็ก ๆ แล้วใส่ลงในกล่อง จากนั้นสุ่มหยิบขึ้นมา แล้วใส่กลับลงไปใหม่เพื่อให้เลขทุกตัวคละกันอีกครั้ง เขาพบว่าวิธีนี้มีปัญหา เพราะการคละ เพื่อให้การ์ดเหล่านี้มีโอกาสถูกหยิบเท่า ๆ กันนั้นยากมากและยังไม่ดีพอ
ทุกวันนี้นักวิทยาศาสตร์สร้างชุดเลขสุ่มได้ด้วยคอมพิวเตอร์ ซึ่งเป็นวิธีที่สามารถสร้างเลขสุ่มได้ปริมาณมหาศาลและมีประสิทธิภาพสูง จนนำไปสู่การประยุกต์ใช้ที่หลากหลายยิ่งกว่าสมัยก่อนมาก การสุ่มสามารถเชื่อมโยงกับแนวคิดเรื่องปรัชญาที่เกี่ยวกับจิตใจได้ ด้วยแนวคิดเชิงปรัชญาที่เรียกว่า Determinism ซึ่งมองว่าเอกภพดำเนินไปตามลำดับเหตุผล ที่มีกฎเกณฑ์ชัดเจนไม่ต่างอะไรจากกระดาษที่ปลิวเพราะลมพัด สิ่งที่เกิดขึ้นล้วนเป็นผลมาจากปรากฏการณ์ในอดีต หากคิดเช่นนี้ไปจนสุดโต่งจะพบว่า จิตใจของคนเราเป็นผลรวมจากปฏิกิริยาเคมี และสัญญาณไฟฟ้าในสมอง ดังนั้นมันย่อมดำเนินไปตามกฎธรรมชาติ ไม่ต่างจากกระดาษปลิวลม
เครื่องจักรที่เป็นแรงบันดาลใจสู่การสร้างคอมพิวเตอร์
ทุกวันนี้ไม่ว่าจะเป็นคนโลว์เทคแค่ไหน ชีวิตก็คงต้องเกี่ยวข้องกับคอมพิวเตอร์ไม่ทางใดก็ทางหนึ่ง โดยคอมพิวเตอร์นั้นอาจแฝงมาในรูปของหน่วยประมวลผลที่แทรกอยู่ตามอุปกรณ์อย่างตู้ ATM เครื่องสแกนบาร์โค้ดตามร้านค้า หรือแม้แต่ระบบต่าง ๆ ที่ใช้ชีวิตอยู่ กล่าวได้ว่าพลังแห่งคอมพิวเตอร์นั้นได้สร้างโลกยุคใหม่ที่เปลี่ยนแปลงไปจากเดิมอย่างสิ้นเชิง
ย้อนกลับไปใน ค.ศ. 1804 โฌแช็ฟ-มารี ฌาการ์ นักประดิษฐ์ชาวฝรั่งเศสได้ประดิษฐ์เครื่องทอผ้าแบบใหม่ขึ้นมาชื่อว่า Jacquard loom มันเป็นเครื่องทอผ้าที่ไม่ต้องใช้ช่างฝีมือในการทอ แต่จะใช้กระดาษแข็งเจาะรูมาร้อยเรียงอย่างเหมาะสม รูปแบบของรูบนกระดาษแข็งจะทำหน้าที่ควบคุมการเคลื่อนไหวของเครื่องทอผ้า ทำให้ได้ลวดลายผ้าในรูปแบบที่ต้องการออกมา ต่อมาในปี ค.ศ. 1839 หลังจากฌาการ์เสียชีวิตได้ราว 4 ปี ช่างทอผ้าผู้มีนามว่า มิเชล-มารี คาร์คิลลาต ใช้เครื่องทอผ้าแบบ Jacquard loom ทอผ้าไหมจนได้ภาพเหมือนของ โฌแช็ฟ-มารี ฌาการ์ โดยใช้กระดาษเจาะรูราว 24,000 แผ่น โดยแต่ละแผ่นถูกเจาะไปมากกว่า 1,000 รู ลวดลายที่ออกมานั้นละเอียดอ่อนสวยงาม Jacquard loom คือเครื่องจักร (ฮาร์ดแวร์) ที่ทำงานตามชุดคำสั่งที่มีลักษณะเป็นกระดาษเจาะรู (โปรแกรม) และให้ผลลัพธ์ออกมาเป็นข้อมูลที่ปรากฏเป็นลวดลายบนผืนผ้า ไม่ต่างอะไรจากอุปกรณ์ที่เรียกว่าคอมพิวเตอร์ในทุกวันนี้ ซึ่งต่อมา ชาร์ลส์ แบบเบจ ได้ใช้เวลาเกือบทั้งชีวิตในการพยายามสร้างอุปกรณ์ ที่มีความใกล้เคียงคอมพิวเตอร์ขึ้นมาอีกขั้นหนึ่ง จนเขาได้รับการขนานนามว่าบิดาแห่งคอมพิวเตอร์
ชาร์ลส์ แบบเบจ บิดาแห่งเครื่องคอมพิวเตอร์
200 ปีก่อน ชาร์ลส์ แบบเบจ นักคิดนักคณิตศาสตร์นักประดิษฐ์ชาวอังกฤษ ได้สร้างผลงานไว้บนโลกใบนี้หลายอย่าง ทั้งการพัฒนาระบบไปรษณีย์ จนถึงการออกแบบกระบังหน้าหัวรถจักรที่เอาไว้กันวัวมาชน แต่คงไม่มีสิ่งใดยิ่งใหญ่ไปกว่านี้ การออกแบบเครื่องจักรที่มีการทำงานใกล้เคียงของคอมพิวเตอร์ในปัจจุบัน จนเขาได้รับการขนานนามว่าบิดาแห่งคอมพิวเตอร์
ชาร์ลส์ แบบเบจได้รับเงินทุนจากรัฐบาลก้อนใหญ่ สำหรับการสร้างเครื่องจักรนี้ เขาควบคุมงานอย่างจริงจัง มีการจ้างช่างเครื่องกลฝีมือเยี่ยมมาสร้างส่วนประกอบจักรกลจำนวนมหาศาล ในระหว่างการสร้างเครื่องจักรนี้ ชาร์ลส์ แบบเบจได้รับตำแหน่งศาสตราจารย์ลูคาเชียนด้านคณิตศาสตร์ ซึ่งเป็นตำแหน่งทรงเกียรติที่เซอร์ไอแซก นิวตันเคยได้รับและสตีเฟ่น ฮอร์คิงได้รับในเวลาต่อมา หลังการสร้างดำเนินไปนานราว 9 ปี เครื่องจักร Difference Engine ที่ทำงานได้เต็มรูปแบบก็ยังสร้างไม่เสร็จ แบบเบจล้มเลิกโครงการสร้างเครื่อง Difference Engine ไป หลายคนเชื่อว่าในระหว่างที่เขาสร้างเครื่อง Difference Engine อยู่นั้น เขาอาจพบว่ามันเป็นไปได้ที่จะสร้างเครื่องจักรที่ทำงานได้กว้างขวางกว่าเดิมมาก โดยเขาเรียกความฝันใหม่นี้ว่าเครื่องจักรวิเคราะห์ (Analystical Engine) เครื่องจักรวิเคราะห์นี้เอง เป็นเครื่องจักรที่ทำงานคล้ายกับคอมพิวเตอร์ยุคปัจจุบันที่สุด เพราะสามารถคำนวณได้ตามที่ได้รับชุดคำสั่ง ซึ่งชุดคำสั่งเป็นกระดาษเจาะรู น่าทึ่งที่ทั้งหมดนี้ถูกออกแบบให้ทำงานได้แทบไม่ต่างจากคอมพิวเตอร์ โดยใช้กลไกเป็นเครื่องจักรกลทั้งหมด และไม่ใช้ไฟฟ้าเลย
ใครคือโปรแกรมเมอร์คนแรกของโลก
ส่วนผสมที่ลงตัวระหว่างฮาร์ดแวร์และซอฟต์แวร์ น่าจะก่อให้เกิดผลงานที่ยิ่งใหญ่แห่งยุคสมัยขึ้นมาได้ แต่ในความเป็นจริงกลับตรงกันข้าม เอดา เลิฟเลช เป็นชื่อหลังแต่งงานของ ออกุสตา เอดา ไบรอน เอดาเป็นเด็กป่วยบ่อยร่างกายไม่ค่อยแข็งแรง แม่ของเธอจึงจ้างครูมาสอนวิชาการต่าง ๆ ให้ที่บ้าน หนึ่งในอาจารย์ที่มาสอนให้เป็นเพื่อนของคุณแม่ชื่อว่า แมรี ซอเมอร์วิลล์ ผู้เก่งกาจคณิตศาสตร์และดาราศาสตร์ระดับเทพ
วันหนึ่งแมรีพาเอดาให้ไปรู้จักกับ ชาร์ลส์ แบบเบจ ผู้กำลังมุ่งมั่นกับการสร้างเครื่องจักรคำนวณที่มีชื่อว่า Difference Engine ส่งผลให้ในเวลาต่อมาเอดามาร่วมงานกับแบบเบจ ในปี ค.ศ. 1843 ซึ่งตอนนั้นแบบเบจพยายามสร้างเครื่องจักรวิเคราะห์ ซึ่งมีหลักการทำงานคล้ายคอมพิวเตอร์ในปัจจุบันมาก เธอเขียนชุดคำสั่งให้เครื่องจักรวิเคราะห์ สร้างชุดเลขที่เรียกว่า Bermoulli Number ซึ่งเป็นชุดเลขที่นักคณิตศาสตร์ให้ความสนใจมาโดยตลอด กล่าวได้ว่านั่นคือโปรแกรมแรกของโลกที่ถูกเขียนขึ้น และเอดา เลิฟเลซ เป็นโปรแกรมเมอร์คนแรกของโลก
สุดท้ายแล้วเครื่องจักรวิเคราะห์ก็ไม่สามารถถูกสร้างขึ้นมาจริง ๆ ซึ่งก็ไม่น่าแปลกใจเพราะการสร้างอุปกรณ์ที่ทำงานได้อย่างคอมพิวเตอร์ โดยไม่มีอุปกรณ์อิเล็กทรอนิกส์เลยเป็นงานที่ซับซ้อนและยากมาก แค่ส่วนเก็บข้อมูลก็ถูกออกแบบให้เก็บเลขได้ถึง 1,000 จำนวนเข้าไปแล้ว อีกทั้งยังต้องใช้พลังงานจากไอน้ำมาช่วยในการเดินเครื่องด้วย สิ่งที่หลงเหลือเป็นหลักฐานของเครื่องคอมพิวเตอร์ที่มาก่อนกาลนี้คือ การออกแบบของชาร์ลส์ แบบเบจหลายพันหน้า และโปรแกรมที่เอดาเขียนขึ้น
จอร์จ บูล ผู้ค้นพบดินแดนใหม่ของคณิตศาสตร์
ตรรกศาสตร์ (Logic) เป็นวิชาที่มีจุดเริ่มต้นเก่าแก่และยาวนาน ในหลาย ๆ วัฒนธรรมความเป็นสากลของมันทำให้นักปรัชญาบางคนเชื่อว่า ตรรกะเป็นสิ่งที่เกิดจากสามัญสำนึกโดยตรง โดยไม่ขึ้นกับปรากฏการณ์ธรรมชาติรอบตัว ในยุคโบราณตรรกศาสตร์เป็นศาสตร์แห่งการให้เหตุผลและการหาข้อสรุป ซึ่งเป็นส่วนสำคัญในวิชาปรัชญา ผลงานของจอร์จ บูลเป็นเหมือนจุดเริ่มต้นใหม่แห่งตรรกศาสตร์ ที่นักคิดในยุคต่อมานำมาพัฒนาและต่อยอดกันจนรุ่งเรืองยิ่งใหญ่ จุดเริ่มต้นเกิดขึ้นหลังจากจอร์จ บูลเสียชีวิตไปแล้ว 73 ปี ในช่วงปี ค.ศ. 1937 คล็อด แชนนอน (Claude Shannon) เด็กหนุ่มวัย 21 ปี ผู้กำลังศึกษาระดับปริญญาโทค้นพบว่า สามารถใช้วงจรไฟฟ้าในการแสดงผลของพีชคณิตแบบบูลีนได้ ในเวลาต่อมา คล็อด แชนนอน ได้ตีพิมพ์ผลงานวิจัยสำคัญที่มีชื่อว่า A Mathematical Theory of Communication ซึ่งเป็นหลักสำคัญของเทคโนโลยีสารสนเทศ ส่งผลให้เขาได้รับการขนานนามว่าบิดาแห่งทฤษฎีข้อมูลสารสนเทศ (Information Theory)
เครื่องเข้ารหัสอีนิกม่า อุปกรณ์เรียบง่ายที่สร้างความซับซ้อนได้จนน่ากลัว
กว่าร้อยปีก่อน อาร์ทัวร์ เซอร์บีอุส (Arthur Scherbius) วิศวกรและนักประดิษฐ์ชาวเยอรมัน ใช้เวลาไปกับการประดิษฐ์สิ่งต่าง ๆ มากมายจนกระทั่งในปี ค.ศ. 1918 เขาได้จดสิทธิบัตรสิ่งประดิษฐ์ชิ้นสำคัญที่มีชื่อว่า Rotor machine ซึ่งหลังจากเขาจดสิทธิบัตรได้ราว ๆ 5 ปีก็นำมันออกขายในชื่ออีนิกมา (Enigma machine) ต่อมากองทัพเยอรมันได้ใช้เครื่องมือนี้สำหรับเข้ารหัสลับ เพื่อส่งคำสั่งทางทหารในสงครามโลกครั้งที่ 2
เครื่องอีนิกมานั้นมีขนาดพอ ๆ กับเครื่องพิมพ์ดีด คำว่าเข้ารหัสจะฟังดูซับซ้อนแต่วิธีใช้งานอีนิกมากลับง่ายมาก ๆ ที่เจ๋งคือทุกครั้งที่กดตัวอักษรลงไป กลไกภายในเครื่องจะหมุนไปเรื่อย ๆ ทำให้รูปแบบการเชื่อมโยงอักษรเปลี่ยนแปลงทุกครั้งที่กดลงไป จากนั้นส่งรหัสลับไปให้คนที่อยากให้อ่าน ซึ่งทหารเยอรมันสามารถส่งสัญญาณนี้ผ่านคลื่นวิทยุในรูปของรหัสมอร์ส โดยไม่ต้องกลัวการถูกดักฟัง เพราะถูกดักฟังไปก็ไม่รู้เรื่องอยู่ดี เมื่อทหารเยอรมันปลายทางได้รับรหัสลับแล้ว ก็นำเครื่องอีนิกมาอีกเครื่องมาตั้งเครื่องให้ตรงกัน แล้วกดแป้นพิมพ์ตามรหัสลับที่ได้ เนื้อหาที่ถูกเขียนขึ้นตอนแรกจะสว่างขึ้นทีละตัวบนแป้นอักษรแสดงผล
เครื่องอีนิกมาที่ทหารเยอรมันใช้ ถูกดัดแปลงจนสามารถตั้งเครื่องได้มากถึง 150 ล้านล้านรูปแบบ อีกทั้งฝ่ายเยอรมันยังตั้งเครื่องใหม่ทุก ๆ วัน และมีการส่งกระดาษเขียนวิธีตั้งเครื่องใหม่ทุกเดือน การจะแก้ลำได้จึงมีทางเดียวคือ หาทางถอดรหัสให้ได้อย่างสมบูรณ์ อลัน ทัวริง เสนอให้สร้างเครื่องจักรช่วยในการถอดรหัส โดยเครื่องจักรดังกล่าวมีชื่อว่า Bombe หลักการทำงานของเครื่องจักรนี้คือ มันจะกำจัดรูปแบบการตั้งเครื่องอีนิกมาที่เป็นไปไม่ได้ออกไป โดยต้องใช้การคาดการณ์เนื้อหาที่ทางเยอรมันน่าจะใช้ร่วมด้วย เมื่ออัจฉริยภาพผสมกับความพยายามอย่างเต็มที่ ก็ทำให้การถอดรหัสจากเครื่องอีมิมาบรรลุผลในที่สุด
The Imitation Game เกมเลียนแบบมนุษย์
อลัน ทัวริง นักคณิตศาสตร์อังกฤษตีพิมพ์ผลงานวิจัยที่เกี่ยวกับคอมพิวเตอร์ไว้ในปีค.ศ. 1950 เรื่อง Imitation Game ซึ่งแปลตรงตัวได้ว่าเกมเลียนแบบ เขาเริ่มต้นด้วยคำถามเชิงปรัชญาที่ว่า เครื่องจักรสามารถคิดได้หรือไม่ เขาเสนอเกม ๆ หนึ่งเป็นการสาธิตให้เห็นขอบเขตของปัญหานี้ เกมดังกล่าวมีกติกาง่ายมากคือ ผู้เล่นต้องคุยกับคนอีก 2 คน ผู้หญิง 1 คน และผู้ชาย 1 คน แล้วถามคำถามต่าง ๆ เพื่อแยกแยะให้ได้ว่า คนสองนี้คนไหนใครเป็นผู้หญิงและใครเป็นผู้ชายกันแน่ แต่ต้องคุยผ่านทางจดหมายที่พิมพ์ด้วยเครื่องพิมพ์ดีด เพื่อจะมาได้ไม่ได้ยินเสียงของอีก 2 คน และไม่เห็นลายมือ พูดง่าย ๆ ว่ามีเพียงข้อมูลที่ส่งทางตัวอักษรเท่านั้น
Imitation Game หรือเกมที่คอมพิวเตอร์เลียนแบบมนุษย์ที่อลัน ทัวริงจินตนาการไว้ คำถามตามมาคือ ถ้าในระหว่างเล่นเกมมนุษย์แยกไม่ออกว่าคุยกับคนหรือเครื่องจักรจะเกิดอะไรขึ้น งานวิจัยเรื่องนี้ส่งผลอย่างลึกซึ้งต่อการพัฒนาปัญญาประดิษฐ์ทุกวันนี้ นักวิทยาการคอมพิวเตอร์เรียกการทดสอบลักษณะนี้ว่า การทดสอบทัวริง (Turing test) กล่าวคือถ้าปัญญาประดิษฐ์สามารถทำให้มนุษย์แยกไม่ออกว่ามันเป็นคนหรือคอมคอมพิวเตอร์ถือว่ามันผ่าน การทดสอบแม้ทุกวันนี้จะยังไม่มีใครพัฒนาปัญญาประดิษฐ์ที่ผ่านการทดสอบนี้ได้อย่างสมบูรณ์ แต่อลัน ทัวริงเชื่อว่า หากคอมพิวเตอร์และปัญญาประดิษฐ์ฉลาดขึ้นถึงจุดหนึ่ง มันจะผ่านการทดสอบ และในที่สุดมันจะคิดได้ไม่ต่างจากมนุษย์
ปัญหาใหญ่ในกล่องส้ม และการนำสมองกลมาช่วยพิสูจน์ทางคณิตศาสตร์
เมื่อ 400 ปีก่อนที่ประเทศเยอรมนี อัจฉริยะผู้มีนามว่า โยฮันเนส เคปเลอร์ ช่วงหนึ่งของชีวิตเขาเคยเผชิญกับปัญหาข้อหนึ่งที่ยากเย็นอย่างยิ่ง มันคือปัญหาที่ว่าจะจัดเรียงลูกกระสุนปืนใหญ่ทรงกลมในลังอย่างไร จึงจะสามารถบรรจุลูกปืนใหญ่ได้จำนวนมากที่สุด การจัดเรียงทรงกลมนั้นมีวิธีการจัดเรียงนับอนันต์ วิธีที่จะมั่นใจได้อย่างสมบูรณ์แบบว่าวิธีการเรียงแบบพ่อค้าขายส้มเป็นวิธีที่ดีที่สุดจริงหรือ ต้องทำการพิสูจน์ทางคณิตศาสตร์ ปัญหาข้อนี้มีชื่อว่าข้อคาดการณ์ของเคปเลอร์ ซึ่งเคปเลอร์เขียนถึงปัญหาข้อนี้ไว้ในหนังสือของเขาเมื่อปี ค.ศ. 1611 ทว่าปัญหาที่ฟังดูเข้าใจได้ง่ายนี้กลับไม่สามารถแก้ได้โดยง่ายเลย เพราะหลังจากที่เคปเลอร์ เสียชีวิต นักคณิตศาสตร์จำนวนมากพยายามแก้ปัญหานี้มาโดยตลอด แต่ไม่เคยมีใครแก้ได้
ต่อมาใน ค.ศ. 1998 นักคณิตศาสตร์ชาวอเมริกัน โทมัส คาลลิสเตอร์ เฮลส์ (Thomas Callister Hales) ประกาศว่าสามารถพิสูจน์ข้อคาดการณ์ของเคปเลอร์ได้ ด้วยบทพิสูจน์ที่ยาวกว่า 250 หน้า เขาใช้วิธีพิสูจน์แบบที่ต้องพิสูจน์ไปทีละส่วน ซึ่งเป็นงานที่หนักหนามาก ๆ จึงนำคอมพิวเตอร์มาช่วย คณะกรรมการจำนวน 12 คนได้ตรวจสอบความถูกต้องโดยใช้เวลานานกว่า 4 ปี จึงทำการประกาศผลว่าการพิสูจน์ของเขานั้นถูกต้องแน่ ๆ 99 เปอร์เซ็นต์ ส่วนอีก 1 เปอร์เซ็นต์ เป็นเรื่องของโปรแกรมคอมพิวเตอร์ ที่คณะกรรมการไม่สามารถตรวจสอบความถูกต้องทั้งหมดได้ เหตุที่ต้องให้คอมพิวเตอร์ช่วยเพราะปัญหานี้ถูกแบ่งออกเป็นส่วนต่าง ๆ มากมาย ซึ่งการจะไล่พิสูจน์ทุกส่วนด้วยมนุษย์ให้ครบถ้วนนั้นเป็นไปไม่ได้เลย ปัจจุบันนักคณิตศาสตร์ส่วนมากยอมรับว่า โทมัส เฮลส์ เป็นผู้พิสูจน์ข้อคาดการณ์ของเคปเลอร์ ยิ่งไปกว่านั้นนักคณิตศาสตร์ส่วนมาก ยังยอมรับการใช้คอมพิวเตอร์มาช่วยพิสูจน์ปัญหาต่าง ๆ ทางคณิตศาสตร์ด้วย
P versus NP problem หนึ่งในปัญหาที่แก้แล้วได้เงินล้านดอลลาร์สหรัฐ
สิ่งประดิษฐ์ที่เรียกว่าคอมพิวเตอร์นั้นเปลี่ยนแปลงวิถีชีวิตมนุษย์ไปอย่างมาก มันช่วยให้ชีวิตมนุษย์ง่ายขึ้น แทนที่ต้องคำนวณทุกอย่างด้วยสมอง ก็ให้คอมพิวเตอร์คำนวณแทน ไม่น่าแปลกใจที่ปัญหาทางคณิตศาสตร์จะถูกแบ่งประเภทโดยใช้คอมพิวเตอร์เป็นศูนย์กลางด้วย ซึ่งในที่นี้จะสนใจปัญหาเพียง 2 ประเภทนั่นคือ ปัญหาประเภท P และปัญหาประเภท NP ปัญหา 2 กลุ่มนี้เองเป็นบ่อเกิด 1 ใน 7 ปัญหาสุดยากชื่อ Millanium Prize Problem ที่สถาบันคณิตศาสตร์เคลย์ (Clay Mathematics Institute) ประกาศไว้เมื่อปี ค.ศ. 2000 ว่าหากใครแก้ได้จะได้เงิน 1 ล้านเหรียญสหรัฐต่อปัญหา 1 ข้อ
ปัญหาดังกล่าวมีชื่อว่า P versus NP problem ซึ่งสามารถทำความเข้าใจได้ทีละส่วนดังนี้ 1.ปัญหาประเภท P เป็นปัญหาที่มนุษย์หาคำตอบได้เร็ว และสามารถตรวจคำตอบได้เร็ว 2.ปัญหาประเภท NP เป็นปัญหาที่ใช้เวลานานในการแก้ แต่ถ้ามีคำตอบอยู่ในมือแล้วจะใช้เวลาตรวจคำตอบไม่นานเลย ปัญหาคือในโลกคณิตศาสตร์มีปัญหาประเภท NP อยู่เป็นจำนวนมากที่น่าสนใจ แต่มันต้องใช้เวลาในการแก้นานสุด ๆ ประเด็นคือนักคณิตศาสตร์ต้องการจะแก้ปัญหาประเภท NP ให้ได้อย่างรวดเร็วแบบปัญหาประเภท P แต่ยังไม่สามารถทำได้
หากปัญหา P versus NP problem ถูกไขได้ไม่ว่าทางใด ก็ย่อมสร้างความเปลี่ยนแปลงให้กับโลกคณิตศาสตร์ และวิทยาการคอมพิวเตอร์อย่างยิ่ง เพราะถ้าสามารถพิสูจน์ว่าทำได้ย่อมมีการระดมสรรพกำลังสติปัญญาหาทางแก้ปัญหาประเภท NP อย่างรวดเร็วให้ได้ กระนั้น ถ้าพิสูจน์ว่าถึงอย่างไรก็ทำไม่ได้ นักคณิตศาสตร์จะได้เอาเวลาไปทำอย่างอื่นนั่นเอง
เซลลูลาร์ออโตมาตา เมื่อมนุษย์เล่นเกมของพระเจ้าในโลกดิจิทัล
ย้อนกลับไปในช่วงสงครามโลกครั้งที่ 2 นักฟิสิกส์ฮังกาเรียน-อเมริกาผู้มีนามว่า จอห์น วอน นอยแมนน์ (Johm von Neumann) อัจฉริยะหนึ่งในผู้ร่วมโครงการผลิตระเบิดปรมาณู ได้สร้างผลงานไว้มากมายในโลกฟิสิกส์และคณิตศาสตร์ รวมทั้งวิทยาการคอมพิวเตอร์ หนึ่งในผลงานของเขาคือการบุกเบิกคณิตศาสตร์ด้านเซลลูลาร์ออโตมาตา (Cellular automata) ร่วมกับ สตาริสลอว์ อุลาม (Stanislaw Ulam) นักฟิสิกส์ชาวโปแลนด์ผู้เป็นเพื่อนของเขา เซลลูลาร์ออโตมาตาเป็นแบบจำลองเรียบง่าย ที่ใช้ศึกษาระบบที่จำลองตัวเองขึ้นมาได้เรื่อย ๆ เริ่มจากการสร้างโลกทางคณิตศาสตร์ที่เป็นตาราง 2 มิติขนาดใหญ่มาก ๆ เพื่อสังเกตความเปลี่ยนแปลงที่เกิดขึ้นภายในนั้น
ในปี ค.ศ. 1970 นักคณิตศาสตร์ชาวอังกฤษ จอห์น คอนเวย์ ที่พิมพ์ผลงานโด่งดังที่มีชื่อว่า Game of Life ซึ่งแสดงให้เห็นว่า ด้วยกฎระเบียบง่ายไม่กี่ข้อกับรูปแบบเริ่มต้นที่ใส่เข้าไปอย่างเหมาะสม เมื่อปล่อยให้เวลาผ่านไปรูปแบบเริ่มต้นที่ใส่ไว้จะเปลี่ยนแปลงที่ซับซ้อนได้ มันดูคล้ายกับมนุษย์เราทดลองสร้างสิ่งชีวิตบนดิจิทัลขึ้นมาด้วยกฎไม่กี่ข้อ
ราวปี ค.ศ. 1983 สตีเฟน วูลแฟรม (Stephen Wolfram) นักฟิสิกส์นักคณิตศาสตร์ นำเสนอกฎที่เรียกว่า Rule 30 ทำให้เซลลูลาร์ออโตมาตาสร้างรูปแบบที่ซับซ้อนและดูเหมือนการสุ่มได้ กล่าวได้ว่าวิทยาการคอมพิวเตอร์ด้านนี้ค่อนข้างใหม่ เมื่อเทียบกับด้านอื่น ๆ ซึ่งในอนาคตมันอาจไปไกลกว่านี้จนคาดไม่ถึง
โทโพโลยี เลขาคณิตแห่งการบิด บีบ และงอ
คณิตศาสตร์สาขาโทโพโลยี จะศึกษาคุณสมบัติของรูปร่างรูปทรงภายใต้การบิด บีบ งอ แต่ไม่ตัด ไม่เจาะรู และไม่นำมาเชื่อมต่อใหม่ นักคณิตศาสตร์ใช้ความรู้เชิงโทโพโลยีพิสูจน์ได้ว่า ถ้ามีลูกบอลกลม ๆ ที่มีขนเล็ก ๆ งอกออกมาเต็มไปหมด จะไม่มีทางหวีมันให้ราบเรียบได้ โดยไม่เกิดขวัญหรือจุดที่ขนเหล่านั้นปะทะกันจนชี้ไปคนละทิศละทาง ทฤษฎีบทดังกล่าวมีชื่อว่า hairy ball theorem ซึ่งเป็นจริงกับผิวทุกอย่างที่มีลักษณะเชิงโทโมโลยีแบบทรงกลมไม่มีรู
รางวัลโนเบลสาขาฟิสิกส์ในปี ค.ศ. 2016 เป็นของนักฟิสิกส์ 3 ท่านที่ค้นพบการเปลี่ยนสถานะเชิงโทโพโลยีและสถานะเชิงโทโพโลยีของสสาร คาดว่าความรู้เหล่านี้อาจนำไปสู่การออกแบบวัสดุสำคัญ ๆ หลายอย่างในอนาคต รวมทั้งการสร้างควอนตัมคอมพิวเตอร์ด้วย
แถบโมเบียสกับรูหนอนแห่งเอกภพกระจก
ออกุสต์ เฟอร์ดินานต์ โมเบียส เป็นนักคณิตศาสตร์และนักดาราศาสตร์ ผู้มีบุคลิกเก็บเนื้อเก็บตัว เขาเป็นศิษย์ของสุดยอดนักคณิตศาสตร์อย่าง คาร์ล ฟรีดริช เกาส์ พอเรียนจบก็มาเป็นศาสตราจารย์ด้านดาราศาสตร์ที่มหาวิทยาลัยไลพ์ซิก แต่ในปี ค.ศ. 1853 โมเบียสในวัย 68 ปี ได้ค้นพบทรงเรขาคณิตประหลาดที่ทุกวันนี้เรียกกันว่าแถบโมเบียส แล้วตีพิมพ์เผยแพร่การค้นพบในปี ค.ศ. 1865
แผ่นกระดาษปกติที่ใช้เขียนกันมี 2 หน้าคือด้านหน้ากับด้านหลัง ถ้าต้องการเขียนให้เต็มทั้งแผ่นต้องพลิกเพื่อเขียนอีกหน้าหนึ่ง แต่ถ้านำกระดาษยาว ๆ มาบิดปลายครึ่งรอบ (180 องศา) แล้วจับมาเชื่อมต่อกันกับปลายอีกด้านจะได้แถบโมเบียส ซึ่งสามารถระบายสีทั้งแผ่นได้อย่างต่อเนื่องโดยไม่ต้องทำการพลิกกระดาษ มันจึงเป็นทรงเรขาคณิตที่มีเพียงหน้าเดียว
รูหนอน (wormhole) เป็นโครงสร้างที่เชื่อมต่อกาลอวกาศ 2 จุดเข้าด้วยกัน ปรากฏอยู่ในทฤษฎีสัมพันธภาพทั่วไป แต่รูหนอนประเภท 1 ชื่อ Nono-orientable wormhole นั้นมีความสัมพันธ์กับแถบโมเบียสอย่างยิ่ง เพราะสิ่งที่เข้าไปในรูหนอนนี้ไม่เพียงแต่จะโผล่ออกมาอีกฟากทันที แต่สิ่งโผล่ออกมาแล้วยังจะเกิดการกลับซ้ายขวาด้วย อย่างไรก็ตาม ในปัจจุบันนักดาราศาสตร์และนักฟิสิกส์ยังไม่พบรูหนอนเลยไม่ว่าจะเป็นแบบใด
เอ็ม. ซี. แอ็ชเชอร์ ศิลปินผู้สร้างโลกที่เป็นไปไม่ได้
แอ็ชเชอร์เป็นชาวดัตช์ เขาเข้าเรียนด้านสถาปัตย์และออกแบบภายใน แต่เรียนไปได้เพียงสัปดาห์เดียวก็บอกพ่อว่าไม่อยากลงเรียนวิชาด้านสถาปัตย์ แต่อย่างมุ่งเรียนด้านภาพพิมพ์มากกว่า การตัดสินใจนี้ได้รับการสนับสนุนจากอาจารย์ของเขา ผู้เห็นแววเมื่อแอ็ชเชอร์นำผลงานมาให้ดู หลังจากเขาเรียนจบก็เดินทางไปยังอิตาลี แล้วสร้างสรรค์ผลงานภาพพิมพ์มาโดยตลอด
ภาพเขียนนั้นจะถูกวาดขึ้นมาภาพเดียวแล้วก็จบ แต่ภาพพิมพ์นั้นเป็นงานศิลปะที่ถูกสร้างขึ้นมาได้หลายชิ้น อีกทั้งมีความยากเย็นในการสร้างผลงานมากพอสมควร ภาพพิมพ์ของแอ็ชเชอร์ นั้นมีความพิถีพิถันสวยงาม มีแนวคิดที่น่าสนใจ อีกทั้งยังมีหลากหลายแนว แต่จะนำมาให้ดูเป็นตัวอย่าง 2 ประเภทคือ 1.Tessellation การออกแบบรูปร่างที่สามารถปูพื้นผิว 2 มิติให้เต็มได้ โดยการใช้กระเบื้องสี่เหลี่ยมจัตุรัสเรียงแบบให้ด้านชนด้าน ก็จะปูจนเต็มพื้นที่ได้อย่างสมบูรณ์ แต่แอ็ชเชอร์ไปไกลกว่านั้น ด้วยการทดลองใช้รูปร่างสิ่งมีชีวิตปูให้เต็มพื้นที่ ผลงานชื่อ reptiles (1943) เป็นภาพพิมพ์ที่แสดงให้เห็นทั้งการปูกระเบื้องด้วยสัตว์เลื้อยคลานอย่างจระเข้ ที่มีความเปลี่ยนแปลงจากผิว 2 มิติขึ้นมาบนโลก 3 มิติทีละนิดแล้วคลานกลับลงไปอย่างน่าพิศวง 2. ภาพจากวัตถุที่เป็นไปไม่ได้ โดยเล่นกับมุมมอง (perspective) ของผู้มอง เช่น Belvedere (1958) หากมองเผิน ๆ ก็จะเห็นว่าในภาพมีโครงสร้างสถาปัตยกรรม ที่อาจจะดูแปลกตาแต่ก็ไม่ได้แปลกประหลาด งานของแอ็ชเชอร์เป็นหลักฐาน ที่แสดงให้โลกได้เห็นว่า คณิตศาสตร์และวิทยาศาสตร์นั้น ไม่ได้จืดชืดไร้จินตนาการ แต่เปี่ยมล้นไปด้วยความน่าพิศวง และมนต์เสน่ห์ในแบบของมัน
ทฤษฎีเงื่อน ศาสตร์มหัศจรรย์ที่หลายคนนึกไม่ถึง
เงื่อน (Knot) สามารถนำมาใช้ในชีวิตประจำวันได้หลากหลาย ตั้งแต่การผูกเชือก ต่อเชือก ผูกเนคไท นักโบราณคดีพบว่ามนุษย์รู้จักการใช้เงื่อนมาช้านาน เพื่อการทำสร้อยคล้องคอ นักคณิตศาสตร์ก็สนใจเงื่อนด้วย จนมีการพัฒนาทฤษฎีเงื่อน ซึ่งเป็นส่วนหนึ่งในคณิตศาสตร์สายโทโพโลยีขึ้นมา นี่เป็นหนึ่งในสาขาทางคณิตศาสตร์ที่ยากมาก เงื่อนบางอย่างแม้จะดูเหมือนผูกกันอยู่ แต่จริง ๆ แล้วมันแค่มาเกี่ยวกันไปมา แต่ไม่ได้ผูกเป็นเงื่อนเรียกว่าเงื่อนเทียม ส่วนเงื่อนแท้ถ้ามันไม่ได้เกิดจากเงื่อน 2 เงื่อนมารวมกันจะเรียกว่าเงื่อนพื้นฐาน คล้ายกับจำนวนเฉพาะของเงื่อน ซึ่งจะมีการแยกแยะเงื่อนไปตามจำนวนจุดตัดของเส้นเชือก
ในปี ค.ศ. 1984 นักคณิตศาสตร์ชาวนิวซีแลนด์ วอร์น โจนส์ ตีพิมพ์การค้นพบอันยิ่งใหญ่โดยบังเอิญ ในระหว่างที่ศึกษาระบบทางฟิสิกส์อยู่ สิ่งที่เขาค้นพบเรียกว่า Jones polynomial ซึ่งในปัจจุบันเป็นเครื่องมือที่ทรงพลังที่สุดในการแยกแยะเงื่อนต่าง ๆ ออกจากกัน ส่งผลให้เขาได้รับรางวัลเหรียญฟิลดส์ (Fields Medal) อันเป็นเหมือนรางวัลโนเบลโลกคณิตศาสตร์ รวมทั้งได้รับยศอัศวินของนิวซีแลนด์ด้วย
ปัจจุบันทฤษฎีเงื่อนเป็นหนึ่งในทฤษฎีทางคณิตศาสตร์ที่ยังไม่มีการประยุกต์ใช้ที่กว้างขวาง แต่ตอนนี้ก็เริ่มมีการมอง ๆ ไว้หลายด้าน นักชีววิทยาพบเงื่อนทางคณิตศาสตร์ในระบบทางชีววิทยา เช่น สารประเภทโปรตีนบางชนิดมีโครงสร้างขดกันเป็นเงื่อน นักเคมีบางกลุ่มพยายามสร้างโมเลกุลที่มีโครงสร้างเป็นเงื่อน ด้วยความหวังว่ามันอาจใช้เป็นองค์ประกอบของอุปกรณ์นาโนในอนาคต และในทฤษฎีทางฟิสิกส์มีการนำเงื่อนไปใช้เพื่อสร้างแบบจำลองเกี่ยวกับอนุภาคมูลฐาน
ความสมมาตร กฎพื้นฐานที่สร้างกฎแห่งเอกภพ
นักฟิสิกส์นั้นเป็นผู้เฝ้าสังเกตปรากฏการณ์ธรรมชาติต่าง ๆ เพื่อมองหารูปแบบแล้วสร้างทฤษฎีขึ้นมาเพื่ออธิบาย ทฤษฎีเหล่านี้ถูกท้าทาย ทดสอบ ปรับเปลี่ยน และแม้แต่รื้อถอน กาลเวลาที่ผ่านไปทำให้สุดท้ายพวกเขาได้ชุดคำอธิบายสุดแข็งแกร่งที่เรียกว่ากฎฟิสิกส์ กฎเหล่านี้ช่วยทำนายปรากฏการณ์ การทดลอง และนำไปสู่การสร้างเทคโนโลยีมากมาย นอกจากนี้ยังช่วยตัดความเพ้อฝันอย่างเครื่องจักรนิรันดร์ที่ผลิตพลังงานได้อย่างไร้ที่สิ้นสุดทิ้งไปด้วย
แม้กฎฟิสิกส์จะทรงพลัง แต่สิ่งหนึ่งที่อยู่ในใจนักฟิสิกส์มาตลอดคือ มีสิ่งใดที่เป็นพื้นฐานยิ่งกว่ากฎเหล่านี้หรือไม่ ในปี ค.ศ. 1918 เอมมี่ เนอเทอร์ (Emmy Noether) นักคณิตศาสตร์สตรีชาวเยอรมัน ตีพิมพ์ผลงานที่ปฏิวัติแนวคิดทางฟิสิกส์ไปอย่างสิ้นเชิง สิ่งที่เธอค้นพบเป็นเหมือนมุมมองที่ทำให้นักฟิสิกส์เห็นความเชื่อมโยงระหว่างกฎฟิสิกส์หลายข้อ กับสิ่งที่เรียกว่าความสมมาตร พบเห็นความสมมาตรได้ในร่างกายสิ่งมีชีวิตหลายชนิด ตั้งแต่ดาวทะเลที่มีสมมาตรแบบรัศมี (Radial symmetry) จนถึงสัตว์เลี้ยงลูกด้วยนมอย่างมนุษย์มีสมมาตรแบบซ้าย-ขวา
สมมาตรกับสิ่งที่เป็นนามธรรม กฎฟิสิกส์ล้วนมีสมมาตรซุกซ่อนอยู่ อย่างแรกคือสมมาตรภายใต้การเปลี่ยนตำแหน่ง อย่างที่ 2 คือสมมาตรภายใต้การเปลี่ยนเวลา อย่างที่ 3 คือสมมาตรภายใต้การหมุน สมมาตรเหล่านี้แฝงตัวอยู่กับกฎฟิสิกส์อย่างเงียบ ๆ จนกระทั่งงานวิจัยของเอมมี เปิดเผยว่า สมมาตรทุกอย่างมีความสำคัญกับกฎการอนุรักษ์ปริมาณทางฟิสิกส์ ที่นักฟิสิกส์รู้จักมาก่อนนานแล้ว นักคิดแห่งกรีกยุคโบราณบางกลุ่มมีความเชื่อเชิงปรัชญาว่า คณิตศาสตร์นั้นเป็นความจริงของเอกภพ มิใช่สิ่งที่มนุษย์สร้างขึ้น พูดยากว่าความคิดนี้จริงแค่ไหน แต่จากพลังแห่งความสมมาตรที่ใช้อธิบายกฎทางฟิสิกส์ได้มากมาย คงยากจะปฏิเสธว่าความเชื่อดังกล่าวไม่ใช่ความจริง
เรขาคณิตนอกระบบยูคลิด โลกที่เส้นขนานอาจบรรจบกัน หรือห่างกันมากขึ้นได้
ตำราเรขาคณิตของยูคลิดนั้นส่งอิทธิพลต่อโลกคณิตศาสตร์อย่างยาวนาน นับตั้งแต่ยุคก่อนคริสตกาลจนถึงทุกวันนี้ วิธีคิดของยูคลิดรัดกลุ่มและเรียบง่าย จนนักคณิตศาสตร์ยุคก่อนเชื่อแบบฝังหัวว่าเรขาคณิตมีเพียงแบบที่ยูคลิดสร้างขึ้นเท่านั้น ทฤษฎีบทที่ว่ามุมในสามเหลี่ยมใด ๆ รวมกันได้ 180 องศา และส่วนมุมในสี่เหลี่ยมใด ๆ รวมกันได้ 360 องศา ก็เป็นผลมาจากเรขาคณิตแบบยูคลิดนั่นเอง นิโคไลเป็นอาจารย์มหาวิทยาลัย Kazan University ในปี ค.ศ. 1999 ผลงานของเขาได้รับการตีพิมพ์เผยแพร่อย่างยิ่งใหญ่ และเขาได้รับการยกย่องว่าเป็นดั่งโคเปอร์นิคัสแห่งโลกเรขาคณิต เพราะการค้นพบนี้เปลี่ยนกระบวนการคิดของนักคณิตศาสตร์ไปอย่างสิ้นเชิง เรขาคณิตที่เขาค้นพบมีชื่อว่า hyperbolic geometry เป็นส่วนหนึ่งของเรขาคณิตนอกระบบยูคลิด (Non-Euclidean geometry) เรขาคณิตแบบยูคลิดนั้นเป็นเรขาคณิตสำหรับ space หรือที่ว่างที่มีความราบเรียบเหมือนแผ่นกระดาษบนโต๊ะ ส่วนเรขาคณิตรูปแบบอื่นใช้ได้กับที่ว่างที่มีความโค้ง ซึ่งสำคัญอย่างยิ่งต่อการพัฒนาทฤษฎีสัมพันธภาพทั่วไปของไอน์สไตน์
Zeno paradox เมื่อตรรกะชี้ว่าการเคลื่อนไหวทั้งปวงอาจเป็นมายา
อนันต์ (Infinity) คือสภาวะแห่งความไร้ที่สิ้นสุดหรือไร้ขอบเขต มันเป็นแนวคิดที่มนุษย์พิศวงและหลงไหลมานานแล้ว ในยุคกรีกโบราณนักคิดชื่อซีโนแห่งเมืองอิเลีย ผู้มีชีวิตอยู่ในช่วง 490 ถึง 430 ปีก่อนคริสตกาล ได้ตั้งคำถามเกี่ยวกับความเป็นอนันต์ไว้อย่างคมคาย สมมุติว่าเต่าตัวหนึ่งยืนห่างนักวิ่งลมกรดคนหนึ่งออกไป 10 เมตร หากนักวิ่งคนนั้นต้องการจะวิ่งแซงเต่าที่คลานไปข้างหน้าอย่างเชื่องช้า เขาจะวิ่งแซงเต่าที่ตำแหน่งใด นี่คือตรรกะของซีโนซึ่งเรารู้ดีว่ามันขัดแย้งกับความเป็นจริง ที่นักวิ่งย่อมวิ่งทันเต่า และสามารถวิ่งแซงเต่าได้อย่างแน่นอน แต่คำถามคือลำดับวิธีคิดของซีโนผิดตรงไหน
คำถามนี้มีความลึกซึ้งมากกว่าเรื่องของคณิตศาสตร์และปรัชญา เพราะมันนำไปสู่การตั้งคำถามว่าที่ว่าง (space) และเวลานั้นมีหน่วยย่อยที่สุดหรือไม่ ปัญหาเหล่านี้ท้าทายสมองนักคิดทุกยุคทุกสมัยมาจนถึงทุกวันนี้ ซึ่งอาจกล่าวได้ว่ามันยังไม่มีคำตอบที่เด็ดขาดลงไปเพียงแบบเดียว เพราะนักคิดตั้งแต่อริสโตเติล อาร์คิมีดีส เบอร์ทรันด์ รัสเซลล์ รวมทั้ง แฮร์มัน ไวล์ ล้วนมีคำอธิบายที่แตกต่างกันออกไป และจนถึงวันนี้ก็ยังมีงานวิจัยที่พยายามอธิบายปัญหาของซีโนอยู่
นักคณิตศาสตร์บางคนมองว่า การคำนวณความเร็วที่ใช้กันในวิชาฟิสิกส์ทุกวันนี้ อาจเป็นเหมือนการเอาปัญหาอันลึกซึ้งเรื่องที่ว่างและเวลาฝังกลบไปก่อน เพื่อให้สามารถสร้างทฤษฎีฟิสิกส์เกี่ยวกับการเคลื่อนที่ต่าง ๆ ขึ้นมาได้ ทั้งที่จริง ๆ ยังไม่ได้เข้าใจเรื่องที่ว่าง เวลา และความเป็นอนันต์มากพอ แต่ปัจจุบันนักฟิสิกส์เริ่มกลับมาขบคิดปัญหาเหล่านี้อย่างจริงจัง เพราะปัญหาใหญ่ ๆ ทางฟิสิกส์หลายข้ออาจเกิดจากความไม่เข้าใจในเรื่องเหล่านี้ก็เป็นได้
แฟรกทัล เรขาคณิตแท้จริงแห่งธรรมชาติ
รูปทรงทางเรขาคณิตช่วยในการอธิบายธรรมชาติได้เป็นอย่างดี โลกที่อาศัยอยู่มีสัณฐานเป็นทรงกลม รูปทรงเรขาคณิตของยูคลิดเป็นผิวที่เกลี้ยงเกลาสมบูรณ์แบบ รูปร่างรูปทรงในธรรมชาติอื่น ๆ ตั้งแต่ใบไม้จนถึงขอบหลุมอุกกาบาต ก็ล้วนแล้วแต่ขรุขระทั้งสิ้น คำถามคือมีรูปทรงเรขาคณิตที่อธิบายพื้นผิวขรุขระเหล่านี้หรือไม่ นักคณิตศาสตร์เพิ่งรู้คำตอบราว 100 ปีก่อนว่ามี นั่นคือแฟรกทัล (Fractal) มาจากคำว่า fractus ในภาษาละตินที่แปลว่ารอยแตกหรือขรุขระ เ พราะรูปร่างรูปทรงของแฟรกทัลนั้น เต็มไปด้วยความขรุขระซึ่งคล้ายคลึงกับขอบพื้นผิวของวัสดุในธรรมชาติ ในทางคณิตศาสตร์แฟรกทัลคือ รูปร่างรูปทรงที่มีคุณสมบัติคล้ายตัวเอง (self similariry) นักคณิตศาสตร์ผู้เรียกทรงเรขาคณิตแห่งความขรุขระเหล่านี้ว่าแฟรกทัล เป็นคนแรกคือ เบอนัว ม็องแดลโบรต ผู้ที่ศึกษาแฟรกทัลรูปทรงสำคัญที่ทุกวันนี้เรียกมันว่า Mandelbrot set
ทุกวันนี้นักคณิตศาสตร์และนักฟิสิกส์ใช้ความรู้เกี่ยวกับแฟรกทัล ในการศึกษารูปทรงในธรรมชาติ ศึกษากราฟที่ซับซ้อนของระบบเคออส ออกแบบเสาสัญญาณในพื้นที่จำกัด ออกแบบลวดลายกราฟิกเท่ ๆ ไปจนถึงการขึ้นรูปภูเขา หรือรูปทรงธรรมชาติอื่น ๆ ในแบบจำลองคอมพิวเตอร์ กล่าวได้ว่าแฟรกทัลเป็นสาขาหนึ่งทางคณิตศาสตร์ที่น่าศึกษา ทั้งในแง่คณิตศาสตร์ และการประยุกต์ใช้อย่างมากทีเดียว
อนันต์กับอนันต์ใหญ่เท่ากันหรือไม่
เกออร์ค คันเทอร์ (Georg Cantor) นักคณิตศาสตร์ชาวเยอรมัน ปฏิวัติแนวคิดเกี่ยวกับอนันต์ด้วยการพิสูจน์ให้เห็นว่า ความเป็นอนันต์บางอย่างอาจมากกว่าอนันต์อีกแบบได้ แม้จะฟังดูแปลกประหลาดแต่มันก็เป็นเรื่องจริงในวิชาฟิสิกส์ หากการคำนวณบางอย่างให้ค่าอนันต์ออกมาก็แปลว่า การคำนวณหรือการตีความนั้นมีปัญหา เพราะไม่มีใครวัดปริมาณใด ๆ เป็นค่าอนันต์ได้ เมื่อดาวฤกษ์มวลมหาศาลยุบตัวด้วยแรงโน้มถ่วงจนเนื้อดาวมีขนาดเป็นจุด ความหนาแน่นที่คำนวณได้ทางทฤษฎีจะเป็นอนันต์ สภาพดังกล่าวเรียกว่า singularity ซึ่งเป็นสภาวะที่อยู่ใจกลางหลุมดำ ปัจจุบันจึงไม่มีทฤษฎีฟิสิกส์ใด ๆ ใช้อธิบายธรรมชาติของสภาวะดังกล่าวได้ ทฤษฎีพลศาสตร์แม่เหล็กไฟฟ้าควอนตัมนั้น ช่วยให้นักฟิสิกส์คำนวณหาโอกาสที่อนุภาคมีประจุไฟฟ้าจะชนกันได้เป็นอย่างยอดเยี่ยม แต่ในระยะแรกที่ทฤษฎีนี้ถูกพัฒนา นักฟิสิกส์พบว่าหากต้องการผลลัพธ์ที่ละเอียดมากขึ้น จะต้องทำการคำนวณให้ละเอียดขึ้น แต่ผลการคำนวณที่ละเอียดขึ้นกลับได้ค่าอนันต์ออกมา นักฟิสิกส์ระดับโลกจำนวนมากหาวิธีทำให้อนันต์ที่เกิดขึ้นหายไป ซึ่งเทคนิคดังกล่าวเรียกว่า Renormalization จะเห็นว่าการจัดการกับค่าอนันต์นั้นไม่ใช่เรื่องง่าย และก่อให้เกิดความปวดหัวได้เสมอ
รากฐานแห่งคณิตศาสตร์ทั้งปวงคืออะไร
หนึ่งในกระบวนการหาความจริงของโลกกายภาพที่สำคัญที่สุดคือวิทยาศาสตร์ ซึ่งความจริงทางวิทยาศาสตร์นั้นได้ส่งผลลึกซึ้งต่อมนุษย์ชาติมาโดยตลอด ความจริงเหล่านี้ล้วนทำให้มนุษย์ตระหนักและเปลี่ยนแปลงมุมมองที่มีเกี่ยวกับธรรมชาติไปจนถึงจิตวิญญาณ กล่าวได้ว่าฟิสิกส์เป็นเหมือนรากฐานของวิทยาศาสตร์ทุกแขนง โดยหลักการแล้วอนุภาคมูลฐานและกฎฟิสิกส์นั้นเป็นสิ่งที่สร้างเอกภาพ และความจริงทางกายภาพทุกระดับขึ้นมา นักคณิตศาสตร์สำนักหนึ่งเชื่อว่า โลกคณิตศาสตร์ทั้งหมดถูกสร้างขึ้นจากสิ่งที่พื้นฐานเรียกว่าตรรกศาสตร์ แนวคิดดังกล่าวจึงมีชื่อว่า logicism
หนึ่งในนักคิดผู้พยายามแสดงให้เห็นว่า แนวคิดนี้เป็นจริงคือ นักคณิตศาสตร์ชาวอังกฤษผู้มีนามว่า เบอร์ทรันด์ รัสเซลล์ พยายามแสดงให้เห็นว่าข้อเท็จจริงและการพิสูจน์ทางคณิตศาสตร์สามารถเขียนให้อยู่ในรูปทฤษฎีเซต ซึ่งเป็นรูปแบบหนึ่งของตรรกศาสตร์ได้ ในหนังสือเล่มสำคัญชื่อ Principia Mathematica 3 เล่ม นักคณิตศาสตร์จำนวนมากยกย่องว่าหนังสือเล่มนี้เป็นเสาสำคัญต้นหนึ่งแห่งวงการคณิตศาสตร์และ เบอร์ทรันด์ รัสเซลล์ ได้รับรางวัลโนเบลสาขาวรรณกรรมจากผลงานดังกล่าวในปี ค.ศ. 1950 ปัจจุบันแนวคิดนี้เป็นแรงบันดาลใจให้นักคณิตศาสตร์รุ่นต่อมาได้พัฒนาทฤษฎีเซต และตรรกะจนก้าวหน้าไปไกลมาก ๆ
นักคณิตศาสตร์อีกสำนัก พยายามสร้างโลกคณิตศาสตร์ที่สมบูรณ์ขึ้น จากกฎเรียบง่ายจำนวนน้อยที่สุดเท่าที่จะเป็นไปได้ แนวคิดนี้มีชื่อว่า Formalism ซึ่งหัวหอกตัวตั้งตัวตี คือนักคณิตศาสตร์ชาวเยอรมันผู้มีชื่อเสียงอย่าง เดวิด ฮิลเบิร์ต ก่อนที่ไอสไตน์จะสร้างทฤษฎีสัมพันธภาพทั่วไปในปี ค.ศ. 1951 ฮิลเบิร์ตเคยเชิญไอน์สไตน์มาบรรยายถ่ายทอดความรู้ด้านนี้ให้ฟัง ซึ่งไอน์สไตน์ก็เดินทางมาบรรยายให้ด้วยความยินดี หลายเดือนหลังจากที่ฟังการบรรยาย ฮิลเบิร์ตได้ตีพิมพ์ผลงานที่ใกล้เคียงกับทฤษฎีสัมพันธภาพทั่วไป ออกมาได้ไล่เลี่ยกับไอน์สไตน์ แต่ฮิลเบิร์ตยกเครดิตทั้งหมดให้กับไอน์สไตน์ อย่างไรก็ตามเรื่องนี้แสดงให้เห็นว่าฮิลเบิร์ตนั้นเก่งกาจอย่างไม่ธรรมดา เพราะแค่ฟังไอน์สไตน์บรรยายได้ไม่นานก็แตกฉาน ช่วงต้นทศวรรษ 1920 เดวิด ฮิลเบิร์ต ประกาศโครงการ Hilbert’s program ที่ใฝ่ฝันจะสร้างคณิตศาสตร์อันสมบูรณ์ขึ้นจากกฎเรียบง่าย ซึ่งรากฐานของโครงการนี้ได้ถูกดำเนินการ และคิดมาตั้งแต่ช่วงปี ค.ศ. 1900 แล้ว
ทว่าในปี ค.ศ. 1931 เคิร์ท เกอเดิล นักคณิตศาสตร์ชาวออสเตรียน-ฮังกาเรียน ในวัย 25 ปี ผู้เป็นสหายของไอน์สไตน์พิมพ์งานวิจัย incompleteness theorems ที่แสดงให้เห็นว่าสัจพจน์ทางคณิตศาสตร์ที่สอดคล้องกัน ไม่สามารถมีความสมบูรณ์แบบได้ ซึ่งเป็นการดับความฝันของฮิลเบิร์ตลง งานวิจัยในยุคหลังจากฮิลเบิร์ตและเบอร์ทรัน รัสเซลล์ก็ยังมีความพยายามจะสร้างโลกคณิตศาสตร์ขึ้นจากกฎเรียบง่ายอยู่ แม้ว่าเป้าหมายจะไม่ใช่โลกคณิตศาสตร์ที่ถึงขั้นสมบูรณ์แบบ แต่เป็นโลกคณิตศาสตร์ที่รู้จักกันดีก็เพียงพอแล้ว
มนุษย์เราค้นพบจำนวนหรือสร้างจำนวนขึ้นมา
มนุษย์ใช้ประโยชน์จากแนวคิดเรื่องจำนวนตั้งแต่ระดับปัจเจกบุคคลไปจนถึงระดับสังคมประเทศชาติ จนกล่าวได้ว่าอารยธรรมของมนุษย์วางอยู่บนพื้นฐานการใช้ประโยชน์จากจำนวน ดังนั้นไม่ว่าจะชอบคณิตศาสตร์หรือไม่ก็ตาม จำนวนก็ได้แทรกซึมเข้ามาในศาสตร์แทบทุกแขนง จนถึงรูปแบบการคิดของมนุษย์อย่างแนบแน่นไปแล้ว นักคิดจำนวนมากเห็นตรงกันคือ จำนวนเป็นแนวคิดเชิงนามธรรม จึงเป็นเรื่องยากเย็นที่จะอธิบายความหมายของมัน
แต่สิ่งหนึ่งที่นักคิดยังถกเถียงกันอยู่คือ จำนวนเป็นสิ่งที่มีอยู่ตามธรรมชาติ แล้วมนุษย์ไปค้นพบเข้า หรือมันเป็นสิ่งที่มนุษย์สร้างขึ้นเพื่อใช้งานกันแน่ คำตอบอาจแบ่งเป็น 2 แนวทางที่แตกต่างกันสุดขั้ว แนวทางแรกคือ Platonism เพลโตเป็นนักปราชญ์ในยุคกรีกโบราณ ผู้มีชีวิตอยู่เมื่อสองพันกว่าปี ก่อนความคิดหลายอย่างของเขาได้ส่งอิทธิพลมาถึงโลกทุกวันนี้ โดยเฉพาะแนวคิดที่เชื่อว่าคณิตศาสตร์นั้น ไม่เพียงแต่มีอยู่ตามธรรมชาติ แต่เป็นความจริงแท้ที่อยู่นอกเหนือเอกภพที่อาศัยอยู่ นักคิดยุคต่อมาที่อยู่ฝั่งเพลโต แต่ไม่ได้เชื่อไปไกลถึงขนาดเพลโตมองว่า คณิตศาสตร์นั้นเป็นรูปแบบที่แฝงอยู่ในธรรมชาติ แล้วมนุษย์ไปสังเกตจนพบเข้า อีกแนวทางที่เห็นตรงข้ามเชื่อว่า มนุษย์สร้างคณิตศาสตร์และจำนวนต่าง ๆ ขึ้นมาเพื่ออธิบายธรรมชาติ มีนักคณิตศาสตร์อีกส่วนหนึ่งที่เห็นอยู่ตรงกลาง ระหว่างนักคิดทั้ง 2 กลุ่มแรกอย่าง เช่น ลิโอโปลด์ โครเน็คเกอร์ นักคณิตศาสตร์ชาวเยอรมันเชื่อว่า พระเจ้าสร้างจำนวนนับ แต่จำนวนในรูปแบบอื่น ๆ เป็นสิ่งที่มนุษย์สร้างขึ้น
1729 เลขธรรมดา ๆ ที่พิเศษสุดสำหรับบางคน
เลขบางตัวอาจเป็นเลขธรรมดาที่ไม่มีความหมายอะไรสำหรับคนส่วนมาก แต่อาจเป็นสิ่งที่มีคุณค่า และอาจถึงขั้นสวยงามสำหรับบางคน จี. เอช. ฮาร์ตี้ นักคณิตศาสตร์ชาวอังกฤษผู้มีชื่อเสียง เดินทางไปเยี่ยมเพื่อนคนหนึ่งที่โรงพยาบาล เมื่อถึงเตียงที่เพื่อนนอนอยู่เขากล่าวโอภาปราศรัยว่า รถแท็กซี่ที่นั่งมาวันนี้เลขทะเบียน 1729 ซึ่งดูเป็นเลขที่น่าเบื่อไม่น่าสนใจอะไร แต่เพื่อนที่นอนป่วยอยู่แย้งขึ้นมาแทบจะทันทีว่า เปล่าเลย เลขตัวนี้น่าสนใจมาก ๆ เพราะมันเป็นเลขน้อยสุดที่เขียนในรูปผลบวกกำลัง 3 ของจำนวนเต็มได้ 2 วิธี
ทุกวันนี้นักคณิตศาสตร์เรียกจำนวนในลักษณะนี้ว่า จำนวนรถแท็กซี่ รูปแบบความสวยงามนี้เป็นหนึ่งในผลของการศึกษาทฤษฎีจำนวน ส่วนผู้ป่วยที่นอนอยู่บนเตียงที่กล่าวถึงข้างต้นนั้น มีชื่อว่า ศรีนิวาสะ รามานุจัน อัจฉริยะชาวอินเดียผู้ไม่เคยได้รับการศึกษาคณิตศาสตร์อย่างเป็นระบบในมหาวิทยาลัย แต่สามารถค้นพบความจริงน่าทึ่งมากมายเกี่ยวกับทฤษฎีจำนวน รวมทั้งข้อคาดการณ์ต่าง ๆ ที่นักคณิตศาสตร์ยังคงถกเถียงจนถึงปัจจุบัน เพื่อหาข้อพิสูจน์ผลงานอีกชิ้นหนึ่งของรามานุจันคือ การค้นพบเกี่ยวกับ partition ไม่มีนักคณิตศาสตร์คนไหนสามารถหาสูตรสำหรับ partition ของจำนวนใด ๆ ได้ แต่กระนั้นรามานุจัน กับฮาร์ตี้สามารถหาสูตรสำหรับค่าประมาณ approximation formula ได้อย่างน่าประทับใจแน่นอนว่าคุณสมบัติของจำนวนนั้นเป็นความสวยงามเชิงรูปแบบ มันจึงมีการประยุกต์น้อยมาก ในแง่หนึ่งมันก็คงไม่ต่างอะไรจากงานศิลปะ ที่ใช้ประโยชน์อะไรไม่ได้ในแง่การยังชีพ ศิลปะไม่ช่วยให้อิ่มท้อง แต่มันทำให้มีความสุขเมื่อได้เห็นความงามของมัน
จำนวนเชิงซ้อนคืออะไรและมีประโยชน์อย่างไร
แนวคิดเรื่องจำนวนติดลบปรากฏขึ้นครั้งแรกในหนังสือคณิตศาสตร์เก่าแก่ยุคราชวงศ์ฮั่นของจีนราว 200 ปีก่อนคริสตกาล (The Nine Chapter on the Matermatical Art) แต่นักคณิตศาสตร์ยุคกลีกโบราณมาก ๆ มองว่า จำนวนติดลบนั้นไม่มีอยู่จริง ทุกวันนี้จำนวนติดลบปรากฏให้เห็นในหลายสิ่งหลายอย่าง ตั้งแต่อุณหภูมิ ประจุของอิเล็กตรอน ไปจนถึงตัวเลขหนี้สิน ดังนั้นคำถามที่ว่าจำนวนอะไรยกกำลัง 2 แล้วได้จำนวนลบ อาจจะพานักคณิตศาสตร์เข้าสู่ดินแดนใหม่เหมือนจำนวนติดลบก็ได้
นักคณิตศาสตร์ผู้มีนามว่า เลออนฮาร์ด ออยเลอร์ เป็นหนึ่งผู้บุกเบิกดินแดนดังกล่าว เขากำหนดให้จำนวนที่ยกกำลัง 2 แล้วได้ -1 ว่า i (ซึ่งหมายถึง Imaginary) ซึ่งนักคณิตศาสตร์ใช้กันมาจนถึงทุกวันนี้ การถือกำเนิดของจำนวนเชิงซ้อน กลายเป็นสิ่งที่ส่งผลสั่นสะเทือนโลกคณิตศาสตร์ เพราะมันเข้ามาเติมเต็มพื้นที่ที่ยังไม่เคยได้รับการสำรวจมาก่อน สิ่งที่สำคัญที่สุดอย่างหนึ่งคือมันก่อให้เกิด Fundamental theorem of algebra ทฤษฎีบทนี้แถลงเกี่ยวกับคำตอบของสมการพหุนาม ซึ่งเกี่ยวข้องกับจำนวนเชิงซ้อน จำนวนเชิงซ้อนยังถูกนำมาใช้ในการวิเคราะห์ระบบอื่น ๆ อีกมากมาย เพราะในหลาย ๆ สถานการณ์ การวิเคราะห์เชิงคณิตศาสตร์ในรูปของจำนวนเชิงซ้อนง่ายกว่าการวิเคราะห์ในรูปฟังก์ชัน ที่มีแต่จำนวนจริงซึ่งมักถูกแสดงในรูปตรีโกณมิติ.
