Binomial Model
แบบจำลองทวินาม (Binomial Model) เป็นเครื่องมือสำคัญในการประเมินมูลค่าอนุพันธ์ทางการเงิน โดยเฉพาะ option แบบจำลองนี้ตั้งอยู่บนสมมติฐานว่าในช่วงเวลาถัดไป ราคาสินทรัพย์อ้างอิงจะเปลี่ยนแปลงเป็นหนึ่งในสองค่าที่เป็นไปได้ (ขึ้นหรือลง) ในการสร้างแบบจำลองทวินามหนึ่งช่วงเวลาเพื่อกำหนดราคา option เราจำเป็นต้องมีข้อมูลดังนี้:
- มูลค่าของสินทรัพย์อ้างอิง ณ จุดเริ่มต้นของช่วงเวลา
- ราคาใช้สิทธิของ option ซึ่งอาจแตกต่างจากมูลค่าของสินทรัพย์อ้างอิง
- ผลตอบแทนที่เกิดจากการเคลื่อนไหวขึ้นและลงของมูลค่าสินทรัพย์อ้างอิงในหนึ่งช่วงเวลา
- อัตราผลตอบแทนปราศจากความเสี่ยงสำหรับช่วงเวลานั้น
ในการประเมินมูลค่า option ด้วยแบบจำลองทวินาม เราใช้หลักการกำหนดราคาแบบไม่มีการอาร์บิทราจ โดยสร้างพอร์ตการลงทุนที่ประกอบด้วย option และหุ้นอ้างอิง ซึ่งจะมีมูลค่าเท่ากันไม่ว่าราคาหุ้นจะขึ้นหรือลง ตัวอย่างเช่น สมมติว่าเรามี call option ที่มีราคาใช้สิทธิ 1,650 บาท บนหุ้นที่มีราคาปัจจุบัน 1,500 บาท โดยคาดว่าในอีกหนึ่งช่วงเวลา ราคาหุ้นจะเพิ่มขึ้นเป็น 1,800 บาท หรือลดลงเหลือ 1,260 บาท
ในการคำนวณมูลค่าของ option เราต้องหาอัตราส่วนการป้องกันความเสี่ยง (hedge ratio) ซึ่งแสดงถึงจำนวนหุ้นที่ต้องซื้อต่อหนึ่ง option จากตัวอย่างข้างต้น เราสามารถคำนวณอัตราส่วนการป้องกันความเสี่ยงได้เท่ากับ 0.278 คำนวณจาก (1,650-1,500)/(1,800-1,260) หมายความว่าเราต้องซื้อหุ้น 0.278 หุ้นต่อการเขียน call option หนึ่งสัญญา
Risk Neutrality
นอกจากนี้ เรายังสามารถใช้ความเป็นกลางต่อความเสี่ยง (risk neutrality) ในการประเมินมูลค่า option โดยกำหนดความน่าจะเป็นแบบเป็นกลางต่อความเสี่ยงสำหรับการเคลื่อนไหวขึ้นและลงของราคาหุ้น ซึ่งคำนวณจากขนาดของการเคลื่อนไหวของราคาและอัตราผลตอบแทนปราศจากความเสี่ยง ความน่าจะเป็นเหล่านี้ไม่ใช่ความน่าจะเป็นที่แท้จริง แต่เป็นค่าที่ใช้ในการคำนวณมูลค่าคาดหวังของ option
ในการคำนวณมูลค่า option ด้วยวิธีนี้ ทำตามขั้นตอนดังนี้:
- คำนวณผลตอบแทนของ option ณ วันหมดอายุ สำหรับกรณีราคาหุ้นขึ้นและลง
- คำนวณมูลค่าคาดหวังของ option ในช่วงเวลาหนึ่ง โดยใช้ค่าเฉลี่ยถ่วงน้ำหนักด้วยความน่าจะเป็นแบบเป็นกลางต่อความเสี่ยง
สมมติว่าเรามี call option บนหุ้นที่มีราคาปัจจุบัน 30 บาท โดยมีราคาใช้สิทธิ 30 บาท และอายุ 1 ปี อัตราผลตอบแทนปราศจากความเสี่ยงคือ 7% และปัจจัยการเคลื่อนไหวขึ้น (up-move factor) คือ 1.15
ขั้นตอนการคำนวณ:
- คำนวณปัจจัยการเคลื่อนไหวลง (down-move factor): R^d = 1 / R^u = 1 / 1.15 = 0.87
- คำนวณความน่าจะเป็นแบบเป็นกลางต่อความเสี่ยงของการเคลื่อนไหวขึ้น: π_u = (1 + 0.07 – 0.87) / (1.15 – 0.87) = 0.715
- คำนวณความน่าจะเป็นแบบเป็นกลางต่อความเสี่ยงของการเคลื่อนไหวลง: π_d = 1 – 0.715 = 0.285
- คำนวณราคาหุ้นในอีก 1 ปี:
- กรณีราคาขึ้น: S^u = 30 × 1.15 = 34.50 บาท
- กรณีราคาลง: S^d = 30 × 0.87 = 26.10 บาท
- คำนวณมูลค่า call option ณ วันหมดอายุ:
- กรณีราคาขึ้น: C^u = max(0, 34.50 – 30) = 4.50 บาท
- กรณีราคาลง: C^d = max(0, 26.10 – 30) = 0 บาท
- คำนวณมูลค่าคาดหวังของ call option ในอีก 1 ปี: E(call option value in 1 year) = (4.50 × 0.715) + (0 × 0.285) = 3.22 บาท
- คิดลดมูลค่าคาดหวังด้วยอัตราผลตอบแทนปราศจากความเสี่ยง: C_0 = 3.22 / 1.07 = 3.01 บาท
ดังนั้นมูลค่าของ call option ในคือ 3.01 บาท
สำหรับ put option ที่มีราคาใช้สิทธิเดียวกัน (30 บาท) เราสามารถใช้ข้อมูลเดียวกันในการคำนวณ:
- คำนวณมูลค่า put option ณ วันหมดอายุ:
- กรณีราคาขึ้น: P^u = max(0, 30 – 34.50) = 0 บาท
- กรณีราคาลง: P^d = max(0, 30 – 26.10) = 3.90 บาท
- คำนวณมูลค่าคาดหวังของ put option ในอีก 1 ปี: E(put option value in 1 year) = (0 × 0.715) + (3.90 × 0.285) = 1.11 บาท
- คิดลดมูลค่าคาดหวังด้วยอัตราผลตอบแทนปราศจากความเสี่ยง: P_0 = 1.11 / 1.07 = 1.04 บาท
ดังนั้น มูลค่าของ put option ในคือ 1.04 บาท
สรุป
แบบจำลองทวินามหนึ่งช่วงเวลาสามารถประยุกต์ใช้ได้ทั้งกับ call option และ put option โดยมีความแตกต่างเพียงวิธีการคำนวณผลตอบแทน ณ วันหมดอายุเท่านั้น ในทางปฏิบัติ เรามักใช้แบบจำลองทวินามที่มีหลายช่วงเวลาสั้นๆ และมีผลลัพธ์ที่เป็นไปได้หลายค่า ณ วันหมดอายุ อย่างไรก็ตาม แบบจำลองหนึ่งช่วงเวลาก็เพียงพอที่จะแสดงแนวคิดและวิธีการได้
สิ่งสำคัญที่ควรตระหนักคือ ความน่าจะเป็นที่แท้จริงของการเคลื่อนไหวขึ้นและลงของราคาหุ้นไม่ได้เข้ามาเกี่ยวข้องโดยตรงกับการคำนวณมูลค่า option แต่ขนาดของการเคลื่อนไหวขึ้นและลง รวมถึงอัตราผลตอบแทนปราศจากความเสี่ยง เป็นตัวกำหนดความน่าจะเป็นแบบเป็นกลางต่อความเสี่ยงที่เราใช้ในการคำนวณผลตอบแทนคาดหวัง ณ วันหมดอายุ ความน่าจะเป็นแบบเป็นกลางต่อความเสี่ยงนี้มาจากการสร้างการป้องกันความเสี่ยงที่ให้ผลตอบแทนแน่นอน และเนื่องจากการคำนวณอยู่บนพื้นฐานของความสัมพันธ์แบบไม่มีการอาร์บิทราจ เราจึงสามารถคิดลดผลตอบแทนคาดหวังด้วยอัตราผลตอบแทนปราศจากความเสี่ยงได้
